应用统计复习总结(8)

其中Qmin称为残差平方和。将（5.1-8）式中的?0?y?x?1代入，得

??Qmin??[Yi?(Y?xβ1)?β1xi]2i?1nn?? ??[(Yi?Y)?β1(xi?x)]2i?1? （5.1-10）

??(Yi?Y)?β12i?1n?2?(xi?1ni?x)2 于是

n?2?211n1? ?Qmin??(Yi?Y)2?β1?(xi?x)2?SY2?β1Sx2

nni?1ni?1?2（5.1-11）

③估计量的另一组表达式

2记Lxx??(xi?x)?nS，Lyy??(yi?y)2?nSy ，

22xi?1nni?1（5.1-10）（5.1-11）式分别化为 Lxy??(xi?x)(yi?y)??xiyi?nxy，则（5.1-8）

i?1i?1nnLxy???β1?Lxx? （5.1-8’） ????β0?y?β1x??Qmin?Lyy?β1Lxy?Lyy?β1Lxx （5.1-10’）

??2111? ?Qmin?(Lyy?β1Lxy)?(Lyy?β1Lxx) （5.1-11’）

nnn?2??2

未知参数估计量的分布

对于一元正态线性回归模型（5.1-4）有

定理5.1.1：①E(β0)?β0, E(β1)?β1. 即（5.1-8’）式中的估计量?0,?1分别是

????β0,β1的无偏估计.

?1xσ22)σ), β1~N(β1,). ②β0~N(β0,(?nLxxLxx?2定理5.1.2：①

1?2（说明：二次型Qmin~?(n?2)，且Qmin分别与β0,β1相互独立。

2??，即有2个独立的线性约Qmin ??(Yi?β0?β1xi)中的β0,β1满足正规方程组（5.1-7）

2i?1n????束条件，故自由度是n?2）。

Qmin?2Qminn?22)?E(2)??，即矩②E(2)?n?2，从而E(?)?E(nn?n?Qmin?2估计? ??21Qmin只是?2的一个渐近无偏估计. n?*2?n?2Qmin212*22 ?σ?，则E(?)??，即?* ?Qmin是?的

n?2n?2n?2?为纠偏，令σ一个无偏估计.

定理5.1.3：β1?β1?σ可以证得）

?*Lxx~t(n?2).（由定理5.1.1②、定理5.1.2①及t分布定义

定理5.1.4：cov(Y,β1)?0.

子样相关系数及意义 为刻画点(x1,y1),?(x2,y2),?,(xn,yn)之间线性关联程度，

（1）定义：r?1n?(xi?x)(yi?y)ni?1

nn121(x?x)(yi?y)2??ini?1ni?1即 r?LxyLxxLyy 可以证得r?1.

（2）意义：

r2?L2xyLxxLyy?β1LxyLyy??1?Lyy?β1LxyLyy??1?Qmin Lyy故r越接近1时，Qmin越接近0，说明线性回归分析的效果越好；特别，当r?1时，

Qmin?0，说明观测点

(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)全部落在经验回归直线

y?β0?β1x上。

§5.2 一元线性回归中的假设检验和预测(略)

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