三角形中三线共点的归纳与研究

三角形中三线共点的归纳与研究

庐州学校 查 俊 13637050988

三角形的三条高（或三条高所在的直线）、中线、角平分线均交于一点，分别叫做三角形的垂心、重心、内心，大部分教材没有给出明确论证，现整理如下。

1.证明三角形的三条高或三条高所在的直线交于一点.

如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H点，

F

A

E H 连接CH并延长，交AB于点F. ∵∠ADB=∠BEA=90? ∴△AEH∽△BDH

AHEH? BHDHAHBH?∴ EHDH∴

B D

C

又∵∠AHB=∠EHD ∴△ABH∽△EDH ∴∠ABE=∠EDH ∵D，C,E,H四点共圆 ∴∠EDH=∠ACF ∴∠ABE=∠ACF ∵∠ABE+∠BAC=90? ∴∠ACF+∠BAC=90?

∴∠AFC=90?

∴CF是△ABC的高

∴三角形的三条高或三条高所在的直线交于一点

2.证明三角形的三条中线交于一点.

A

如图，△ABC的中线BD，CE交于点G， 连接AG并延长，交BC于F点，再延长 至M，使GM=AG，连接BM，CM. ∵E是AB的中点

1∴EG∥BM，且EG=BM

21又∵EG=CG（可利用

2B F

C

E G D

三角形中位线的性质定理及

M

相似三角形或构造平行四边形并应用三角形中位线的判定定理证明） ∴ BM∥CG，且BM=CG ∴四边形BMCG是平行四边形 ∴F是BC的中点，AF是△ABC的中线 ∴三角形的三条中线交于一点 3.证明三角形的三条角平分线交于一点.

较简单，应用角的平分线的性质定理及判定定理即可证明.

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