佛山一中2012届高三上学期期中考试数学试题(2)

17．（满分12分）

解;(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得??a1?d?0 2分

?2a1?12d??10解得??a1?1 4分

d??1?故数列{an}的通项公式为an?2?n 5分 （Ⅱ）设数列?ana2?an?S?a????的前n项和为，即 ① Sn1nn?1n?1?22?2?故S1?1 6分

Sna1a2a?????n ② 2242n当n≥2时 ①-② 得

Sna?aaa?a1?a1?2???nn?1n?1?n 8分 n2222 ?1?(?112?n???)? 222n?12n12?n?1?(1?n?1)?n 10

22n?n?1 2n所以Sn?n?1

212综上，数列?n?an?S?的前n项和为. 12分 nn?1n?1?2?2?18. （满分14分）

解法一：（Ⅰ）MB//NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，

?MB//平面DNC. …………………2分

同理MA//平面DNC，又MA?MB=M, 且MA,MB?平面MAB. ?平面MAB//平面NCD???AB//平面DNC. (6分)

AB?平面MAB?（Ⅱ）过N作NH?BC交BC延长线于H，连HN，

?平面AMND?平面MNCB，DN?MN, …………………8分 ?DN?平面MBCN，从而DH?BC,

??DHN为二面角D-BC-N的平面角. ??DHN=30 …………………10分

o由MB=4，BC=2，?MCB?90?知?MBC?60o，

CN?4?2cos60??3. ?NH?3?sin60o =

由条件知：tan?NHD?33 …………………12分 2DN333333?,?DN?NH????. …………………14分 NH33232解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系N?xyz.易得NC=3，MN=3，

设DN?a，则D(0,0,a),C(0,3,0),B(3,4,0),M(3,0,0),A(3,0,a). ????????????（I）?ND?(0,0,a),NC?(0,3,0),AB?(0,4,?a).

AzDNCy????????4????4?AB??(0,0,a)?(0,3,0)??ND?NC，

33MxB∵ND,NC?平面DNC，且ND?NC?N，

????∴AB与平面DNC共面，又AB?平面DNC，?AB//平面DNC. (6分)

????????（II）设平面DBC的法向量n1?(x,y,z)，DC?(0,3,?a),CB?(3,1,0)

??????DC?n1?3y?az?0则????，令x??1，则y????CB?n1?3x?y?03，z?33 a∴n1?(?1,3,33). （8分） a又平面NBC的法向量n2?(0,0,1). （9分）

33n?n3a?12??. …………………12分 |n1||n2|2271?3?2?1a?a2?933, 又a?0,?a?.即DN?. …………………14分 422?cosn1,n2即：

627?1?3?2,aa19.解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为P1?付2元为P2?111??，…………………2分 428111??， 248111付4元为P3??? ………………4分

4416

则所付费用相同的概率为P?P1?P2?P2?5 ……………6分 16（2）设甲，乙两个所付的费用之和为?，?可为0,2,4,6,8

P(??0)?P(?P(?P(?P(?1811115?2)?????4422161111115?4)???????4424241611113?6)?????442416111?8)???4416 …………………10分

分布列

? P

0 18 2 4 6 8 516 53116 16 16 E??55917????84822 …………………14分

220.(满分14分) 解：（1）抛物线y?4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x??1，……………

2分

22 ∴ a?b?1 ① …………………3分

又椭圆截抛物线的准线x??1所得弦长为2， ∴ 得上交点为(?1,2)， 211∴ 2?2?1 ②…………………4分 2ab2422由①代入②得2b?b?1?0，解得b?1或b??1（舍去）， 222从而a?b?1?2 …………………6分

x2y2??1 …………………7分 ∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为

21（2）∵ 倾斜角为45的直线l过点F，

?∴ 直线l的方程为y?tan45?(x?1)，即y?x?1，……8分

由（1）知椭圆的另一个焦点为F1(?1,0)，设M(x0,y0)与F1关于直线l对称，…………9分

?y0?0?1??1??x0?1?x?1则得?0 ……10分 解得?，即M(1,?2) ……11分

?y0??2?y0?0?x0?(?1)?1?2?2又M(1,?2)满足y2?4x，故点M在抛物线上。 …………………13分

所以抛物线y2?4x上存在一点M(1,?2)，使得M与F1关于直线l对称。……14分

a2x2?2x?a?(x??1) 21． (满分14分)解: （I）f??x??2x?1?x1?x2 令g(x)?2x?2x?a，其对称轴为x??1。由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个2均大于?1的不相等的实根， 其充要条件为????4?8a?01，得0?a?…………………2分

2 ?g(?1)?a?0⑴当x?(?1,x1)时，f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数；…………………4分 ⑵当x?(x1,x2)时，f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数；

⑶当x?(x2,??)时，f??x??0,?f(x)在(x2,??)内为增函数；……………6分 （II）由（I）g(0)?a?0,??1?x2?0，a??(2x22+2x2) 2?f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?

设h?x??x?(2x?2x)ln?1?x?(x??)， …………………8分

2212则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x?…………………10分

⑴当x?(?11,0)时，h??x??0,?h(x)在[?,0)单调递增；

22)，h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。………12分⑵当x?(0,??时

111?2ln2?当x?(?,0)时,h?x??h(?)?224故

f?x2??h(x2)?

1?2In2．…………………14分 4

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