数字信号处理试卷024答案

数字信号处理》2004～2005学年度第一学期试卷

物理与电子工程 学院 电子信息 系：班级： 学号： 姓名：

题号 分数 得分 一 8 二 8 三 8 四 8 五 8 六 10 七 10 八 10 九 20 十 10 总分 100

1、（8分）系统的输入输出关系为

y[n]?a?nx[n]?x[n?1],a?0

判定该系统是否为线性系统、因果系统、稳定系统和时移不变系统，并说明理由。

解：非线性、因果、不稳定、时移变化。

2、（8分）求下列Z变换的反变换

H?z??z?z?2?，z?0.2

?z?0.2??z?0.6? 解：

z?z?2?1?2z?12.751.75H?z?????

?z?0.2??z?0.6?1?0.2z?11?0.6z?11?0.2z?11?0.6z?1????h?n???2.75?0.2?u??n?1??1.75??0.6?u??n?1?

nn3、（8分）一个FIR滤波器的系统函数为

H?z??1?0.3z?1?2.5z?2?0.8z?3?1.5z?4

求另一个n?4时h?n??0，且具有相同幅度响应的因果FIR滤波器。

解：H?z??z?4?0.3z?3?2.5z?2?0.8z?1?1.5

4、（8分）已知单位脉冲响应长度为9的类型3实系数线性相位FIR滤波器具有零点：z1?4，z2?1?j。

（a） 求其他零点的位置 （b） 求滤波器的传输函数

111解：（a）z?4，z?，z?1?j，z?1?j，z??1?j?，z??1?j?，z?1，

422z??1

H?z??1?z?11?z?11??1?j?z?11??1?j?z?1（b）?

????????111?1? ?1???1??1??1??1?j?z??1??1?j?z?1?4z?1?z??2??2??4???5．（8分）已知x?n?（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X?k?

（1）用X?k?表示序列v[n]?x[?n?3?N] 的DFT变换。 （2）如果x[n]??n（0?n?N?1），求其N点DFT。

解：(1)V[k]?WNX[k]?e(2) X[k]?3k?j6?k/NX[k]

?x[n]Wn?0N?1nkNnk???nWN???Wn?0n?0N?1N?1?knN?k1??WN?k1??WN??N

6、（10分）确定以下数字滤波器的传输函数H(z)?Y(z) X(z)V

W U

解：

?V?X?2W??1U?z?2?X?2W??X??1?z?2?X?2z?2W?W?azV?bU ??2?1?2?1?2?1?2az?2bz?W??az?b?bz?X?U?zV?X?Y?z?2V?W?Y?z

?2?X?2W??W?z?2X?1?2z??2?az?1?b?bz?2b?az?1??1?b?z?2X?X?1?2?1?21?2az?2bz1?2az?2bz7、（10分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器

G?z??

18z318z?3z?4z?132?0.361?0.5z?1?0.241?0.3333z?1?0.4?1?0.3333z??12

8. （10分）低通滤波器的技术指标为：?p?0.2?，?s?0.3?，?p??s?0.001， 请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。

解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.001)=-60dB，因此只能采用布莱克曼窗。

????s??p?0.1?

M?5.56?5.56???56 ??0.1?2?n4?n??0.42?0.5cos()?0.08cos()?M?n?M w[n]??2M?12M?1?0其它??c?(?s??p)/2?0.25?，

ht[n]?hd[n?M]w[n?M]?

sin(?c(n?M))w[n?M] ，0?n?2M

?(n?M)9．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，技术指标为： ?s?0.1?， ?p?0.3?，A?10, ??0.4843

解： 0.0?H(ej?)?0.1 0???0.1?

0.9?H(ej?)?1.0 0.3?????。

我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。

我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为?s?0.1?，通带截止频率为?p?0.3?，且A=1/0.1=10,

11??2?0.9???19= 0.4843 9先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且

??tan()

2有：

??s?tan(?s2)?tan(0.05?)?0.1584

?p?tan(?p2)?tan(0.15?)?0.5095

?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有 用变换s?1/s??1/??1/0.5095?1.9627 ?pp??1/??1/0.1584?6.3138 ?ss所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为

??p?0.3109 k???s判别因子(discrimination parameter)为：

k1??A?12?0.04867

因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为： N?log10(1/k1)?2.59

log(1/k)我们取N=3, 则

????p2Np2?()????c? ?0.7853?c?2N???2ss?()?A?1??c? ?2.1509?c 我们可取

??p0.7853????c??s??2.5，， 如取?则所求得的低通巴特沃兹滤波器为： c2.1509?)?Ha(s1 32????/?c)?2(s?/?c)?2(s?/?c)?1(s?)?Ha(s

11? 3232??????(s/2.5)?2(s/2.5)?2(s/2.5)?10.064s?0.32s?0.8s?1?将低通滤波器转换为高通滤波器： 用低通到高通的转换关系s?1/ss3 Ha(s)?0.064?0.32s?0.8s2?s31?z?1最后采用双线性变换s?1?z?1H(z)?Ha(s)s?1?z?1

1?z?11?z?13()?11?z??11?z1?z?121?z?130.064?0.32?0.8()?()?1?1?11?z1?z1?z??0.456z?3(1?z?1)3 ?2?1?2.072z?3.288z?2.18410.（10分）信号y?n?包含一个原始信号x?n?和两个回波信号：

y?n??x?n??0.5x?n?nd??0.25x?n?2nd?

求一个能从y?n?恢复x?n?的稳定的滤波器．

解：因为X(z) 与Y(z)的关系如下： Y(z)?(1?0.5z?nd?0.25z?2nd)X(z)

以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：

G(z)?1

1?0.5z?nd?0.25z?2ndn 注意到：G(z)?F(zd)，且F(z)? F(z)的极点在：

z??0.25(1?j3)

1 ?1?21?0.5z?0.25z它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内r'?(0.5)实现的。

?nd处，所以G(z)是可

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