初中数学建模对高中数学教学的意义与思考

初中数学建模对高中数学教学的意义与思考

上海市三林中学 恽敏霞

数学建模是一个创造性的思维过程，数学建模的教学内容、教学方法、以及教学原则都围绕着一个培养创新人才的主题而进行，目的是学生真正学到“有用的数学”，懂得数学是人类文化的重要组成部分，数学与人类生活有密切的联系。它与培养学生的创造性思维是相辅相成、辩证统一的。在初中数学教学中构建学生建模意识十分重要，是实现初中阶段数学课程目标的策略要求，又对后续高中数学的学习有着重要的意义。

一、初高中数学建模知识内涵与思想方法的传承与发展

初中数学建模常用到6类模型：方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、几何或三角模型、统计模型、概率模型，覆盖到课程标准中4个内容板块：方程与代数、函数与分析、图形与几何、数据整理与概率统计。

和初中数学相比，高中数学知识更为广泛。既是对初中的数学知识推广和引申，也是对初中数学知识体系的完善。如：初中学习的角的概念只有锐角、直角、钝角，但实际到高中有任意大的角和任意小的角，角在弧度制上与全体实数可以建立一一对应关系；高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积；还将学习“排列组合”知识等。在初中数学常见6个模型基础上，高中数学建模应用数学知识的深度和广度进一步加强，并且新增加“数列模型”（也是一种函数模型）、立体几何模型、向量模型等等。但是不论是哪种类型的数学建模，初高中内容溯源到数学方法与数学思想都是类似的。

例如，“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这个问题的一般解法有两个：一是假设法，如果先假设它们全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数—每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数—每只鸡脚数）。二是方程法，设兔子的数量为x，鸡的数量为y，那么：x+y=35，4x+2y=94 解方程组得出：兔子有12只，鸡有23只。（最近有个孩子在“人人网”发帖：“关于转得沸沸扬扬的鸡兔同笼新算法，在这里鄙视一下：还是35只鸡兔94只脚，先让可怜的动物听从命令，鸡金鸡独立，兔双足站立，这时有94／2=47只脚，多的47-35=12就是兔子数，鸡数35-12=23，不是更简单么？”）

这个例子说明什么问题呢，首先数学由算术到代数在方法论上是一大步，当利用字母代替数时，可以非常简单明了地表达出量与量之间的关系（列方程）；其次无论是假设法还是孩子的搞笑解法，其实都体现了整体数学思想。

2009年上海理科试卷考查如下问题：某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现

1

2)，(3，4)，(?2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零售点。请确定一个格有下述格点(?2，1)，(3，点（除零售点外）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短。 可以画出直角坐标系，将格点在坐标系中确定位置，转化为数学模型。若设发行站坐标为(x,y)（x,y为整数），则发行站到各零售点距离S可以表示为函数关系：

S?2x?2?2x?3?x?4?x?6?y?1?y?2?y?3?y?4?y?5?y?6

这是一种绝对值型函数，虽然式子中有两个变量，但两个变量之间彼此独立，相互不受影响，问题就转化为对函数f(x)?2x?2?2x?3?x?4?x?6与

g(y)=y?1?y?2?y?3?y?4?y?5?y?6分别求最小值。对于绝对值函数f(x)和g(y)，解决的一般方法是将绝对值函数的绝对号去掉变成在区间上的分段函数，

求出在各分段点上的值可知，fmin?f(3)?14，对函数g(y)也可以照样处理。 但对于系数都是1的绝对值函数，中间那个区间点，就是达到最值的点，即当y?3或y?4时，

gmin?g(3)?g(4)?9。

本题的解决关键在于建模后对函数模型的认识，如果被题目中含有两个自变量的函数形式吓住，这个问题就没有办法解决；如果能清晰了解到这两个变量之间的独立性，问题也就迎刃而解.

初中在几何教学中非常关注添辅助线的方法，事实上，辅助线往往体现了对问题的第一感觉以及解决问题的切入口。到了高中，解决几何问题多了向量方法和解析方法，“添辅助线”就渐渐被学生忽视。2008年高考有如下问题：

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120?的扇形AOB. 小区的两个出入口设置在点

A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD. 已知某人从C沿CD走到D用了10

分钟，从D沿DA走到A用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.

可以有两种添辅助线方法，使得问题解决过程简单化。

但不少学生不添辅助线，那就陷入了非常繁复的计算当中。

纵观初中数学应用的几个常用模型，无一不体现出每个内容板块的重要数学思想和核心内涵，是高中数学拓展应用必备基础。

二、初高中数学建模思维方式与文化价值的贯彻与渗透

下面一些例子可以从中挖掘出隐藏在背后的环境保护的人文精神。

09上海市高考试题：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

2

（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 （C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3

根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.

2009年高考北京试卷：某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

1，遇到红灯时停留的时间都是2min. 3（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （2）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.

本题需要随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.

设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P?A???1????1?????1??3??1?14；设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间?3?327至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件Bk?k?0,1,2?. 则由题意，

?2?161?1?得P?B0?????，P?B1??C4???3?81?3?4124?2?322?1??2?. ?,PB?C??2?4??????81?3?81?3??3?8. 9322由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， ∴事件B的概率为P?B??P?B0??P?B1??P?B2?? 2008年上海试卷：近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%. 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为36%，38%，40%，42%. 则2006年全球太阳电池的年生产量为

670?1.36?1.38?1.40?1.42?2499.8(兆瓦)；设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，

1420(1?x)4?95%. 解得x?0.615. 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增则

2499.8(1?42%)4 3

长率至少应达到61.5%.

相类似的问题举不胜举，很多问题利用初中所学的知识和方法也能够加以解决。 知识与技能的学习必须以有利于情感与态度的发展为前提。也就是不仅仅是让学生去计算、回答，更是要让学生有体验数学文化的机会。在教学中应该加强数学与实际生活的联系，增强数学的应用性．让学生体验到数学文化的价值就在于生活的各个领域中都要用到数学。以数学应用为触角的数学文化渗透，将数学问题赋予生活内涵，一方面深化了学生的数学知识， 另一方面，使学生认识到数学与生活息息相关．学会用数学的视角分析生活中的问题并尝试用数学去解决问题，增强了学生关注社会和关注人类发展的意识，有助于学生正确看待与欣赏丰富多彩的数学文化，实现多元文化下的数学教育目标。

三、初高中数学建模过程中需要注意的几个关键点 1. 解读情境中的文字信息

应用题往往文字较多，已知信息繁杂，因此领悟信息中概括出来的数学实际要分析出已知什么, 求什么, 都涉及哪些知识要去尝试、探索、发现、归纳、联想、实现、挖掘，重要部分划出线做标记,才能捕捉到题中的数学模型与数量关系.

2. 关注情境中的条件限制

从应用题实际背景→数学模型→解决数学模型→得出实际应用问题的解，过程中经历实际问题数学化→数学结果实际化，所以在解决问题过程中要特别关注题设的条件，注意变量的实际意义和解析式意义.

3.熟悉章节知识概念内涵与应用情境的对应关系

提高解决实际情境应用问题的能力，光靠大运动量的强化训练是不行的，提高应用能力根本上依赖于对高中数学章节内容教学中的数学概念、数学方法和数学思想的本质理解，在此基础上熟悉概念和方法的应用，使得建模过程得心应手.

总之，数学建模丰富多彩,解决实际情境应用问题具有更大的综合性、多样性,而结论往往需要进行检验和优化，则带有更大的挑战性和创造性. 数学建模使学生走出课本，走出传统的习题演练，进入生活生产实际，进入一个更加开放的思维天地，从中体会数学的由来、数学的应用，体验充满生命活力的数学。更有利于激发学生兴趣、促进学生有效理解数学，使不同的学生在数学上得到不同的发展，无论在初高中都给传统的中学数学教学带来更加清新的空气。

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