高等数学上复旦第三版 课后习题答案(6)

???1?n1，由当x=-1时，级数变为??2知级数收敛，?n?n?1?nn?1n?n?1?n?1n?n?1??11是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]．

xn?1记S?x???则S(0)=0，xS?x???，

n??n??n?1n?1n?1n?1??xn?xS?x?????x?xn?1?n?1?1 （x≠1） 1?x所以?0?xS?x????dx??ln?1?x? 即?xS?x?????ln?1?x?

?dx??ln?1?x?dx??1?x?ln?1?x??x ????xSx?0?0xx即xS?x???1?x?ln?1?x??x

???1当x≠0时，S?x??1????ln1?x?，又当x=1时，可求得S(1)=1

??limS?x??lim?1?（∵n??n???1???1） n?1?1?x综上所述

x?0?0, S?x???x?1?1,??1??1?1?ln?1?x?,x??1,0???0,1???????x?26．设f(x)是周期为2π的周期函数，它在(-π,π]上的表达式为

?2?π?x?0, f?x???3?x0?x?π.试问f(x)的傅里叶级数在x=-π处收敛于何值？

解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x=-π是它的间断点，在x=-f??π???f??π??131??π?2???2?π3? π处，f(x)的傅里叶级数收敛于

222 308

27．写出函数f?x?????1?π?x?0的傅里叶级数的和函数． 2?x0?x?π解：f(x)满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f(x)，在间断点x=0，x=±π处，分别收敛于

f?0???f?0??1f?π???f?π??π2?1f??π???f??π??π2?1，，综??，??222222上所述和函数．

??1?x2??S?x????1?2?π2?1??2?π?x?00?x?πx?0x??π

28．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f(x)在[-π,π)上的表达式为：

?π????(1)fx??4??π??40?x?π,

?π?x?0;(2)f?x??x2??π?x?π?；

π?π?,?π?x??,?22?ππ??x?, (3)f?x????x,22?π?π,?x?π;?22?(4)f?x??cosx2??π?x?π?.

309

解：(1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件，x=nπ，n∈z是其间断点，在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛于

f?0???f?0??2π?π?????4?4???0，在x≠nπ，有

2an?1π10?π?1ππfxcosnxdx??cosnxdx?cosnxdx?0 ???????-π?π0ππ?4?π41π10?π?1ππbn??f?x?sinnxdx?????sinnxdx??sinnxdxπ-ππ?π?4?π04?0,n?2,4,6,?,???1,n?1,3,5,?.??n

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

f?x???1sin?2n?1?x (x≠nπ) 2n?1n?1?(2)函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，从而f(x)cosnx为偶函数，f(x)sinnx为奇函数，于是

1π1π22π2bn??f?x?sinnxdx?0，a0??xdx?，

π-ππ-π3an?1π2π24nfxcosnxdx?xcosnxdx??1? (n=1,2,…) ????π?-ππ?0n2所以，f(x)的傅里叶级数展开式为：

π2?4nf?x??????1??2cosnx (-∞

3n?1n(3)函数在x=(2n+1)π (n∈z)处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x≠(2n+1)π时，由f(x)为奇函数，有an=0,（n=0,1,2,…）

310

ππ?2π2?πbn??f?x?sinnxdx???2xsinnxdx??πsinnxdx?π0π?022? 12nπn????1??2sin?n?1,2,??nnπ2所以

2nπ?n?11?f?x??????1???2sin?sinnx (x≠(2n+1)π,n∈z)

nnπ2?n?1??(4)因为f?x??cos作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f(x)，注意到f(x)为偶函数，有bn=0(n=1,2,…)，

1πx2πxan??coscosnxdx??coscosnxdxπ-π2π021π??1?1??????cos?n??x?cos?n??x?dxπ0??2?2?????1?1???sinn?xsinn????x?1??2?2???????11π??n?n???22??01?n?14????1??2??n?0,1,2,??π?4n?1?πx2

所以f(x)的傅里叶级数展开式为：

24?n?1cosnx f?x??????1?2ππn?14n?1x∈[-π,π]

29.将下列函数f(x)展开为傅里叶级数： (1)f?x???π4x2??π?x?π?

(2)f?x??sinx?0?x?2π?

1π1π?πx?π解：(1) a0??-πf?x?cosnxdx???π???dx?

ππ?42?2an?1π?πx?1π1π?cosnxdx?cosnxdx?xcosnxdx??????π-π-ππ?42?42π

1π??sinnx??π?0?0?n?1,2,??4n311

bn?1π?πx?1π1π?sinnxdx?sinnxdx?xsinnxdx??????π-π-ππ?42?42π

n1???1??nπ?nsinnx故f?x??????1? (-π

4n?1n(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于

f(x)，注意到f(x)为偶函数，有

bn=0,a0?1π1πfxcos0xdx?sinxdx ?????π?πππ2π4??sinxdx?π0πan?2π2πfxcosnxdx?sinxcosnxdx????0?πππ1π???sin?n?1?x?sin?n?1?x?dx??0π?2?n??1??1??2??π?n?1?n?1,3,5,??0,????4,n?2,4,6,??π?n2?1??

所以

2??4cos2nx (0≤x≤2π) f?x????2πn?1π?4n?1?30.设f(x)=x+1(0≤x≤π)，试分别将f(x)展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f(x)作奇延拓，则有an=0 (n=0,1,2,…)

bn??2π2πfxsinnxdx????x?1?sinnxdx??00ππ21???1??1?π??πnnn

2?1???1??1?π?从而f?x???sinnx (0

πn?1n

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