基于智能仪表和PLC的液位控制系统设计(4)

PID控制器的另一种表示方式也比较常见，称为并行结构（Parallel form），如下所示：

G(s)?Kp?Ki?Kdss （3-2）

其时域输出方程为：

u(t)?Kpe(t)?Ki?e(t)dt?Kdde(t)dt

（3-3）

式（3-1）与式（3-2）实际上可以互相转换，两者参数间的关系如下所式：

Kp?Kc，Ki?Kc，Kd?KcTd （3-4） Ti1，Kd Ki此时，模型的积分时间和微分时间也相应改变，分别为：

3.1.2 PID控制器各参数的作用

PID控制器包括积分、比例、微分三个部分，分别代表过去，现在，还有未来的控制作用，相应的控制参数,以式（3-1）为例，比例增益Kc、积分时间Ti、微分时间Td的取值影响到系统控制效果的好坏。三个部分对系统性能的影响如下所示： (1) 比例作用

引入比例作用是为了即时地反映控制系统的偏差信号，一旦系统出现了偏差，比例调节作用立即生效，使系统偏差快速向减小的趋势变化。增大比例增益，可以提高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高控制精度加快调节速度。

但是过大的比例增益会使调节过程出现较大的超调量，从而降低系统的稳定性，在某些严重的情况下，甚至可能造成闭环系统不稳定。 (2) 积分作用

引入积分作用是为了使系统消除稳态误差，提高系统的无差度，以保证实现对设定值的无静差跟踪，改善系统的稳态性能。从原理上看，只要控制系统存在动态误差，积分调节就产生作用，直至无差，积分作用就停止，此时积分调节的

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输出为常数。积分作用的强弱取决于积分时间常数Ti的大小，Ti越小，积分作用越强，反之则积分作用弱。

但积分作用的引入同时使信号产生相位滞后，使系统稳定性下降，动态响应变慢。因此，实际中一般不单独使用积分器，积分作用常与另外两种调节规律结合，组成PI或PID控制器。 (3) 微分作用

引入微分作用是为了改善控制系统的响应速度，同时使相位超前，提高系统的相位裕度增加系统的稳定性。微分作用能反映系统偏差的变化律，预见偏差变化的趋势，因此能产生超前的控制作用。直观而言，微分作用能在偏差还没有形成之前，就已经消除偏差。因此，微分作用改善系统的动态性能。微分作用的强弱取决于微分时间Td的大小，Td越大，微分作用越强，反之则越弱。此外，微分作用反映的是变化率，当偏差没有变化时，微分作用的输出为零。在微分作用合适的情况下，系统的超调量和调节时间可以被有效的减小。

但是微分作用对噪声干扰有放大作用，而这是我们在设计控制系统时不希望看到的。所以我们不能过强地增加微分调节，否则会对控制系统抗干扰能力产生 不利的影响。因此，微分器也不能单独使用[4]。

3.1.3 过程控制中常见PID参数整定方法

从对象的开环响应曲线来看大多数工业过程都能用一阶惯性加纯滞后(First Order Plus Delay Time)模型来近似描述，简记为FOPDT模型，其传递函数如下所示：

G(s)?K??se (3-5) 1?TsK、?、T分别为对象模型的开环增益、纯滞后时间常数和惯性时间常数。 （1）飞升曲线法（阶跃响应法）

将系统开环后（不加入控制环节），给其输入一定幅值的阶跃信号，可得如下图所示的飞升曲线（即阶跃响应曲线）。在曲线上最大斜率点P处作切线，FOPDT模型的参数如图3-2所示。

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P K ? T

图3-2 飞升曲线

再根据飞升曲线法的经验公式可得控制器各参数。

飞升曲线法非常方便简洁，只要知道过程对象的函数模型，即可根据公式算得PID控制器的三个参数。但是飞升曲线法存在一定的弊端。首先，它难以确定最大斜率处，并且能够利用的系统信息不足；其次，飞升曲线法只限定与FOPDT模型，对象广泛的其他经典过程对象，飞升曲线法则束手无策。 （2）临界振荡法（临界比例度法）

1942年，Ziegler和Nichols提出的另一种参数整定方法叫临界比例度法。这种方法不像飞升曲线法那样依赖于对象的数学模型，而是通过实验由经验公式得到PID控制器的最优整定参数。方法如下：

在闭环的情况下，将PID控制器的积分和微分作用先去掉，仅留下比例作用，然后给系统输入一个信号，如果系统响应是衰减的，则需要增大控制器的比例增益Kc，重做实验；反之则需要减小Kc。实验的最终目的，是要使闭环系统做临界等幅振荡，此时的比例增益Kc就被称为临界增益，记为Ku而此时系统的振荡周期被称为临界振荡周期，记为Tu。然后再根据经验公式得出相应的PID参数[4]。

临界比例度法虽然非常简单易用，在工程上也曾经得到广泛的应用，但是仍然存在许多的缺陷。首先，对于参数Ku和Tu的获取需要花费大量的调试时间；

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其次，现场实验中存在的不确定影响会给试验数据带来一定甚至关键的噪声，从影响最终的控制品质；最后，对于那些不允许做临界振荡实验的系统，临界比例度法根本无法应用，否则就会导致整个系统崩溃。

3.1.4 PID参数整定公式

PID参数自整定包括提取过程动态特性和PID控制器的设计两部分。为了将复杂的设计过程应用于实际的PID自整定控制器，可以把PID控制器的设计结果表示为一些由过程的简单模型参数或动态特性参数表示的整定公式。整定公式本身包含了PID控制器的设计过程，可以直接应用于PID自整定控制器中。其中最为常见的是Ziegler-Nichols整定公式，最早的Z-N公式是在1942年由Ziegler和Nichols首先提出的，他们所使用的方法及其改进方法至今仍在广泛应用，上文所提到的飞升曲线法也是基于Z-N公式的确定PID参数方法。

对于线性时不变系统，如果输入信号是正弦信号，则稳定后输出信号为同频率的正弦信号，只有幅度和相位发生变化。系统传递函数可以表述为频率的函数:

G?j???A???ej???? （3-6）

其中A???为输入到输出的幅值增益，????是输入信号与输出信号之间的相移。

图3-3 Nyquist曲线

系统的Nyquist曲线如图3-3所示。曲线上相位为?180o的点的被称为极限点该点的频率称为临界振荡频率?u。如果在闭环系统中将控制器设为纯比例控制，当比例增益达到足够高时，系统将不稳定。调节比例增益使系统达到临界状态时，这时控制信号与过程输出都是正弦信号，相位相差?180o。简单起见假设设定值SV=0。则u=-K*PV。由于系统等幅振荡，可知KuG(j?u)??1，其中临界增益Ku被

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称为临界比例系数，G(j?u)为过程传递函数。由此方程可知G(j?u)??1Ku。这

样，Nyquist曲线上的极限点被确定，系统的频域传递函数就可以通过一次调节试验辨识。

基于以上原理与方法，Ziegler和Nichols提出了除利用阶跃响应法外的另一种PID参数整定方法——频率响应法。频率响应法也就是上文提到的临界比例度法。临界比例度法的整定公式如下表3-1所示。

表3-1 临界比例度法的整定公式

控制器 P PI PID Kp Ti Td 0.5Ku 0.45Ku 0.6Ku 0.85Tu 0.5Tu 0.125Tu 除了Z-N整定公式外，后人还研究出多种PID参数整定公式，例如RZN整定公式、Kappa-tao整定公式、Cohen-Coon整定公式、AMIGO整定公式等[4]，本文不做深入介绍。

3.2 数学模型

被控对象数学模型的建立通常采用下列二种方法。一种是分析法，即根据过程的机理，物料或能量平衡关系求得它的数学模型；另一种是用实验的方法确定。

图3-4 单容自衡水箱特性测试系统 （a）结构图 （b）方框图

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