《黄金矩形中点四边形》教案设计

《黄金矩形 中点四边形》教案设计

一、教材依据

本课内容是人教版八年级下册115—117页的数学活动。 二、设计思路

活动课要在教师的指导参与下，充分发挥学生的自主性，自己动手、动脑进行实践，培养学生的兴趣，发展学生的能力。

本节活动课安排在本章最后，是围绕本章的基础知识和基本技能展开的，学生亲自动手实践，自主探索，观察分析，猜想证明，完成从感性到理性的知识发生、发展的认知过程，运用所学的知识，解决问题，突现应用意识。教师适当引导，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法获得广泛的数学活动经验。

在教学过程中，强调学生形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，充分体现“数学教学是数学活动的教学”的这一教育思想。

三、教学目标

知识技能1、了解什么是黄金矩形，中点四边形。

2、掌握如何通过折纸的方法得到30度、60度、15度的角及黄金矩形。 情感态度和价值观

1、 乐于参与数学活动的探究，在动手过程中，感受数学的乐趣。

2、 体验和感受数学活动的探索性，培养学生的动手能力，创新意识和审养情趣。 过程与方法

1、 通过动手操作、观察、发现推理等环节，探索出利用矩形得到30度角的方法，如何得到一个黄金矩形和中点四边形。

2、 培养学生归纳能力，使学生形成完整的知识结构和研究数学问题的一般方法。 四、教学重点：1、如何通过折纸得到30度角、得到黄金矩形。 2、中点四边形的性质。

五、教学难点：影响中点四边形形状的主要因素。 六、教学准备

搜索与本活动有关图片，制作课件。 学生准备好长方形的纸。 七、教学过程 问题与情境 师生行为 设计意图 兴趣是最好的老师， 提出问题是思维的动因，是探究过程的起点。 通过此举，动手，培养学生的探究意识。 问题4的提出，是为创设一个问题情境，激起学生主动将所学过的知识与该活动联系起来。激发学生积极探索研究的热情。 调动学生学习的积极性，通过独立思考，讨论交流，完成证明过程，从而培养学生推理论证能力。 通过图片展示，使学生理解概念并感受到数学在生活中的应用。 活动一：折纸60度、教师提出问题后，展示图片， 30度、15度的角 教师观察学生能否按照折纸过1活动引入：如果我们程进行操作。 身边没有量角器或三角 尺， 操作完成后，教师提出问题4 又需要做60度、30度、在问题4中，教师应重点关注学15度的角，怎么办呢？ 生能否运用所学的知识解决问题。 2多媒体展示：如何利 用矩形得到30度的角。 3按照折纸过程，学生动手操作。 4折纸完成后，提出问题观察所得的 （5）∠ABM∠NBC这三个角有什么关系？ （6）提问：开始老师提出的问题能解决了吗？ 活动二：黄金矩形 （1）出示定义，展示图片 （2）根据折纸过程，学生动手折黄金矩形。 （3）指出图形中矩形MNDE也是黄金矩形。 （4）课下同学们仔细观察，看你的周围有黄金矩形吗？ 活动三：中点四边形 （1）中点四边形定义，展示图片，让学生思考：它是什么图形，怎样证明。 （2）探究问题，特殊四边形的形状。 （30决定中点四边形的形状的主要因素是什么。 （4）概括规律：主要因素是四边形的对角线的长度和位置关系。 活动四： 小结：请学生谈谈这一节课的体会和收获。 教师展示图片，让学生感受到黄思考问题提出，目的是让学生更充金矩形的美。 分理解黄金矩形的定义。 在学生折纸过程中教师要关注问题4是为了让学生充分感受数学学生折纸是否正确。 与生活的联系，学以致用，培养审美情并引导学生思考，这样折得的矩趣。 形是黄金矩形吗？ 对学有困难的学生，教师要加以引导。 利用电脑改变四边形的形状，教师要关注学生是否仔细观察，引导学生分析，带领学生完成证明过程。 在（2）中，利用电脑将四边形分别变换成矩形、菱形、正方形，观察中点四边形形状。学生讨论并证明结论。 问题（3）教师要提示：是四边形的角、对角线？ 问题（4）要求学生小组讨论完成。 利用信息技术工具，可以更方便地看到它们的动态变化，有利于学生发现结论。 让学生积极参与数学学习活动，满足学生对数学的好奇心和求知欲，并在探索过程中形成解决问题的基本策略。 探究问题的设计目的是让学生体会数学活动中探究问题的层次性，通过合作交流发展学生推理能力。 学生自己总结，不全面的由其它通过这种形式的评价与反思能有效学生补充，完善，教师重点关注不同调动学生的主动参与意识，有利于知识层次学生对本节知识的理解。 的掌握和能力的提高。 布置作业 黄金分割的应用：

（1）据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值时 , 人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? （人的正常体温36.2℃～ 37.2℃） “人体舒适指数”----36.5℃×0.618≈23℃，“人体舒适指数”为22℃∽24℃； （2）二胡的“千斤”放在琴弦的金分割点处，音色最佳；

（3）维纳斯雕像、雅典娜女神象、海姑娘---阿曼达雕塑等肚脐之下的长度与身高之比接近0.618，芭蕾舞演员的比值只有0.618，所以要踮起脚尖！

（4）植物茎的顶端向下，上下层的两片叶子间大约成137.50，这个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，这是因为：137.5︰（360—137.5）≈0.618；

（5）自然界的花瓣数目从里到外排列为：2、3、5、8、13、21、34、55、……，相邻两个数的比值越来越接近于0.618……；

（6）你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗? 芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm，这时比值就接近0.618了，给人以更为优美的艺术形象；

资料：

1、五角星图形)怎样画五角星呢？关键在于能从线段AB上找到点C，本节课我们就

来研究解决这个问题.

师：下面请每位同学用刻度尺分别度量AC、BC和AB的长，然后计算的值，以小组为单位，度量三次后取平均值，看有什么发现？小组讨论交流．

生：(分别度量，计算出结果后组内交流)两个比值相等.

师：点C把线段AB分成一大一小两条线段，即AC和BC.如果，那么，我们称线段AB被点C黄金分割，其中点C叫做线段AB的黄金分割点，BC与AC或AC与AB的比叫做黄金比

2、黄金分割在美术、建筑设计、音乐等方面有广泛应用。如，某些日用品的宽与长的比常被设计成黄金比；在摄影时，常常把主要景物放在胶片的黄金分割处，这样会使画面更加协调；世界名画《蒙娜丽莎》，就是根据黄金分割的比例来构图的；人体肚脐到脚底的距离与头顶到脚底的距离之比也近似地等于黄金比；另外报幕员报幕时，总是站在接近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果比较好.此外，黄金分割在中国股市和彩票上也有应用

2、人理想身材的黄金分割点是肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接0.618，就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中，其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身和下半身的比率正是0.618.

（2）巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例。使学生体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.

（3）舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；等等.

（4）同学们，国歌一个国家的象征，《义勇军进行曲》是我国的国歌，其实它是散文式的自由体新诗，作曲家聂耳在谱曲时，创造性地将它谱成由6个长短不等的乐局组成的自由体乐段。歌曲的高潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置，音乐富有动力，让人感到无比的振奋！

（5）黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值。黄金三角形分为两种：①是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2；②是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：(√5-1)/2.

八、教学反思

本节课内容量较大，但由于采用了电脑辅助教学手段，使学生在教师的启发下，一步步探索、归纳，达到了教学目标。

201 年 月 日 课 题 教学目标 与知识点 第十章 相似三角形 10.2黄金分割 课 型 新 授

教学重点、 难点分析及 教法设计 1、经历探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在生活 的各个领域有价值的运用； 2、会找一条线段的黄金分割点； 3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实际操作、思考、交 流等过程中进一步感悟数学与生活的密切联系； 4、通过建筑、艺术等生活实例使学生体会黄金分割的文化价值，提高学生的审美意识。 【教学重点】了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义； 【教学难点】怎样做一条线段的黄金分割点； 思考问题 一 次 备 课 一、复习： 前面一节课我们探讨了成比例线段，以及比例的性质，什么叫成比例线段？比例有哪些性质？什么叫比例中项？ 二、情境创设： C C ① ③ B B ④ ② A A 1、P85欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值； 2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值； 3、观察P84“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？ 三、探索活动： 21 活动一、计算AB（或AC三次备课 BC）的值，引入黄金分割的概念. AB34 B C A 把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段AC分成两部分，如果ABBC，那么线段AC被点B黄金分割。（有一种通俗的说法是：?ACAB较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比） 解：设AC＝x，AB＝1，则由AC2＝BC·AB得：x2＝（1—x）·1，∴x2 + x—1＝0， 1∴x2 + x+＝5， 441∴（x＋）2＝5，∴……，∴x?5?1，又∵＜1，∴x＝5?1≈0.618 2224BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.168，这个比值称为黄金比. 注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称； （2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形. （3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？ E D C D C A A B B F 活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形） 1、作顶角为36°的等腰△ABC； 2、分别量出底边BC与腰AB的长度； 3、作∠B的平分线，交AC于点D，量出△BCD的底边CD的长度； 最后，分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值（精确到0.001） 问：比值是多少？ 学生：大约是0.618 所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质： （1）A D B C BC?0.618； AB（2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点； （3）如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形； 活动三、如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等， （1）找出图中的黄金三角形； A （2）图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？ 解：（1）△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、 M H B E △BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA； N G （2）点F是线段CG、CE、DN、BD的黄金分割点，…………… F 三、例题讲解： C D 例1、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？ 变题：电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20米，试计算主持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1米） 解：如图1，若AC是BC与AB的比例中项：则AC≈0.618×4cm=2.472 cm； 如图2，若BC是AC与AB的比例中项：则BC≈0.618×4cm=2.472 cm； ∴AC≈1.528 cm 例2、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ oC (精确到1 oC)。 ACB2例3、如图，点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则AC＝________；（结果保留根号） 例4、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________； （结果保留根号） 例5、如图的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，AB=1，求CD的长； 解：∵点C、D是AB的黄金分割点， ∴AC=BD≈0.618·AB=0.618， ∴BC≈1—0.618=0.382 ∴CD≈0.618—0.382=0.236 答: CD的长约为0.236 例6、科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm（精确到0.1cm）； 解：设该女士穿的高跟鞋鞋跟的高度为xcm， 根据黄金分割的概念知：92 + x≈0.618（153 + x），解得：x≈6.7 四、黄金分割的应用： （1）据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值时 , 人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? （人的正常体温36.2℃～ 37.2℃） “人体舒适指数”----36.5℃×0.618≈23℃，“人体舒适指数”为22℃∽24℃； （2）二胡的“千斤”放在琴弦的金分割点处，音色最佳； （3）维纳斯雕像、雅典娜女神象、海姑娘---阿曼达雕塑等肚脐之下的长度与身高之比接近0.618，芭蕾舞演员的比值只有0.618，所以要踮起脚尖！ （4）植物茎的顶端向下，上下层的两片叶子间大约成137.50，这个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，这是因为：137.5︰（360—137.5）≈0.618； （5）自然界的花瓣数目从里到外排列为：2、3、5、8、13、21、34、55、……，相邻两个数的比值越来越接近于0.618……； （6）你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗? 芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象；

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