数学分析(7)

动能E是速度的函数时间t的函数，即 其中g是重力加速度.

.于是，通过中间变量，动能E就是

,

以上是两个函数生成的复合函数.不难将复合函数概念推广到有限个函数生成的复合函数.例如，三个函数

生成的复合函数是

,

.

我们不仅能够将若干个简单函数生成为复合函数，而且还要将复合函数“分解”为若干个简单函数.例如，函数

是由五个简单函数生成的复合函数.

请注意，不是任何两个函数都能构成复合函数.例如，

,这两个函数不能构成复合函数. 这是因为，

的定义域是区间. 而它们的并是空集.

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所

，而 的值域是区间

.

注

是函数与?的一种运算——复合运算. 一般来说，（尽管个别点的函数值可能相等，但是作为函数不相等）.

例如，设

（

,则

这说明函数的复合运算与加、乘运算不同，它不满足交换律.容易证明它满足结合律：

二、反函数

我们在高中数学已经学习了反函数，如对数函数是指数函数的反函数，反三角函数是三角函数的反函数. 鉴于反函数的重要性，本段将复习反函数的概念及其图像.

在圆的面积公式（函数）

中，半径r是自变量，面积S是因变量，即对任意半径

对应唯一一个面积S.这个函数还有一个性质：反之，对任意面积

，按此对应关系，也对应唯一一个半径r（正数），即

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函数

的反函数. 由函数定义，

，按照对应

就是所谓函数

对给定的函数关系?，对应唯一一个就不一定只有一个

，使

,即单位对应. 反过来，

，即一个函数不一存在反函数.

什么样的函数存在反函数呢？

定义 设函数

,有

在数集A有定义，它的值域是

，若

则称函数

函数为不同的

定义 设函数

上一一对应.

上一一对应,就是?把不同的，即

只有唯一一个

对应，使

上一一对应，即，

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存在唯一一个，使，这是一个由到A新的对应关系，

称为函数y=?(x)的反函数，表示为

,

.

的定义域和值域与

互

由反函数的定义不难看到，反函数 恰好是函数为反函数，有

例1 函数

.

.

的值域和定义域. 函数

的定义域是R，值域也是R. 按照y=2x+1,

则

（值域），对应R（定义域）中唯一一个x，即函数

例2 指数函数+∞）.按照

，的反函数是

（0

，对应R中唯一一个x，这个的反函数，即对数函数

函数就是我们已知的指数函数

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,.

由函数的严格单调的定义不难证明： 定理1 若函数函数

在数集A严格增加（或严格减少），则

在

也严格增加

存在反函数，且反函数

（严格减少）.

证明 若函数. 即到

设 因此，

，则有存在反函数

,且， （或, 有

（或

）.

在A严格增加（或严格减少），值域是

，故A到?(A)是一一对应的. 从而A.

，则存在

.

）.由?(x)的严格增加（或，即

（或

，使

严格减少），有

）.

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