几个著名不等式(3)

?n?px???iinni?1??(?pixi)lnn?ln?xipixi ??i?1i?1p??i??i?1?除去对数符号，得

n?pxi?1n1ii?pi?1?(?xpixi)i?1i?1n?pixin

i令pi?1,i?1,2,?,n，则得 xin1?i?1xin?n?xi?1ni

即几何平均值大于等于x1,x2,?,xn的调和值．

例５ 求证圆内接n边形中，以正n边形面积为最大．

证明 设圆的半径为Ｒ，内接n边形的面积为Ｓ，n边形各边所对应的圆心角为

?1,?2,?,?n．

则

S?12R(sin?1?sin?2???sin?n) 2因为f(x)?sinx都(0,?)区间是上凸函数． 所以

sin?1?sin?2???sin?n???2????n?sin1

nn2?sin?1?sin?2???sin?n?nsin

n上式只有在?1??2????n时等号才能成立，也就是说正n边形面积最大． 最后我们给出一些与分析有关的不等式． 例６ 若r?1，求证 证明

rn?1?n(r?1)

因为r?1，令r?1??,??0，所以

rn?(1??)n?1?Cn??Cn?2???

121?n??1?n(r?1)

在上式中，如果令r??,??1，则

1n??1n令n??，得

???1?0

1n??1

另一方面，因为r?1??

1n所以

当n?2,n?1?n2，有 令r?nn，得

当n??时，nn?1．

rn?1?n??n(n?1)2?2??rn?n(n?1)(r?1)22

rn?n2(r?1)24

n?n2n4(n?1)2

0?nn?1?2n

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