各高校量子力学考研试题汇总(2)

10． 不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？

11． 量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？

12． 什么是定态？定态有什么性质？

13． 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？ 14． 简述力学量与力学量算符的关系？ 15． 轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？ 16． 简述量子力学的五个基本假设。

17． 简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 18． 什么是光电效应？光电效应有什么规律？

19． 什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。

20． 简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。 21． 简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。 22． 能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？ 23． 原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？

习题2

1.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________ 2. 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_____________________________

3. 计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长

_____________________________

?x,4. 计算对易式[p数.

?x为动量算符的x分量，f(x)为坐标的x函?x)]，其中pf(x)]和[x,f(p?满足关系式???、???5. 如果算符???? (1) ?2????1，求证 ???2?? ??2???3??? (2) ??3??2 ??3???d2dx]??[x]2??? dxdx6. 设波函数?(x)?sinx，求[(?7. 求角动量能量算符Lz???ie8. 试求算符F??i??的本证值和本征态 ??ixd的本征函数 dx9. 证明一维束缚定态方程的能量E是非简并的

10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称

11. 一粒子在一维势场

??，x?0? 0?x?a U(x)??0，??，x?a?中运动，求粒子的能级和对应的波函数 12. 设t=0时，粒子的状态为

2 ?(x)?A[sin kx?12coskx]求此时粒子的动量期望值和动能期望值 13. 一维运动粒子的状态是

?Axe??x, 当x?0 ?(x)??

当x?0? 0, 其中??0，求：

(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的动量期望值。

14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为

a，如果粒子的状态由波函数

?(x)?Ax(a?x) 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值.

15.设粒子处于范围在[0,a]的一维无限深势阱中状态用函数?(x)粒子能量的可能测量值及相应的几率 16. 设氢原子处在?(r,?,?)??4asin?xacos2?xa，求

1?a30e?ra0的态（a0为第一玻尔轨道半径），求

e2 (1) r的平均值；(2)势能?的平均值

r17. 质量为m的一个粒子在边长为a的立方盒子中运动，粒子所受势能V(x,y,z)由下式给

??0,x??0,a?;y??0,a?;z??0,a?出：V(x,y,z)??；试写出定态薛定谔方程，并求系?,others??统能量本征值和归一化波函数； 18. 氢原子处于态??r,?,??? （1）?122R43Y31?R41Y10?R41Y1?1中，问 333?r,?,??是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由； ?r,?,??中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少

（2）在?19. 在一维谐振子能量表象中写出坐标x和动量p的矩阵表示 20. 在t=0时，自由粒子波函数为

??b2?sinbx??x,0????0?2?px12?b] (?b)12(?2i)sin224??b(?b)?px2?b2?x?bx?

(1) 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；

[

(2) 求出几率最大的动量值；px???b

?(?b)dpx?2(3) 求出发现粒子在?b??b?dpx区间中的几率；[

1dpx] ?b??的作用，微扰矩阵元21. 设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及E02，现在受到微扰H?为H12??a，H11??H22??b；a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值 ?H2122. 一维无限深势阱(0?x?a)中的粒子受到微扰

a?x2? (0?x?)??a2 H?(x)??

a?2?(1?x) (?x?a)?a2?作用，试求基态能级的一级修正。??(?122?2)

23. 具有电荷为q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为I(?)。其波长较长，求：

① 原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。 的选择定则。?m??1

1 ②讨论跃迁2??t/?24. 电荷e的谐振子，在t?0时处于基态，t?0时处于弱电场???0e之中(?为常

数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。 25.质量为m的粒子处于位势 V?x,y,z????00?x?a,0?y?a和0?z?a

其他?????bxy，试求第一激发态能量的一级修正。 中。假设它又经受微扰H26. 用试探波函数 ?(x)?e?x/a，

估计一维谐振子基态能量和波函数

?，它在H?0表象中的表示为 27.设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为H

??? E0 ?E??H????E E??，

0???E0??E， u??1?1??? ??2?1??的本征值和本征态； EA. 求H?1?1??? E??E0??E, u?????12??B.

?1??若t=0时，粒子处于?，它在H0表象中的表示为??0??。试求出

??1

t > 0时的粒子波

函数；?e?iE0t??cos?Et?????isin?Et??? ??28. 一个电荷为的一维谐振子受到弱电场的作用，利用微扰理论求能量至二级修正值并与其精确结果比较

?是电子的自旋算符，求 28. 若S?(1) Sx?S???SzxSySx=?

??S??? (2) S??1?29. 二个自旋的粒子组成的系统由等效哈密顿算符H?A(S1z?S2z)?BS1?S22描述，其中S1,S2是二个自旋，S1z,S2z是他们的分量，A,B为常数，求系统的所有能级 30. 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

?31.一量子体系的哈密顿算符H??H??,在H?表象中 ?H00?400??0k0?????k00? ???020? ，H H?????000??????001? 其中常数k??1，

（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似； （2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较

南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学

???(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 V?x???0?V?0在Ex?00?x?a x?a?V0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至

少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？

（二）20分 一个取向用角坐标?和?确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：

?2是角动量平方??AL?2?B?2cos?2??，式中A和B均为常数，且A??B，LH算符，试用一级微扰论计算系统的p能级（l?1）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。

（三）20分求在一维无限深势阱中，处于?n?x?态时的粒子的动量分布几率?n?p?2 。

（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）

e???i?p?e????xj?e????i?????xpj?1i?2?和? ？式中ij分别是x和y方向的单位矢量。

，

???'?x??x,p?xf?x??p?x??p?xf(x) ？式中p（2）?pi?xi2??p????是归一化的束缚态波函数，则??H??Vr?r（3）系统的哈密顿算符为 ，设n2?有：

??2p1???n?n??nr??V?r??n2?2 ？

?（五）20分碱金属原子处在z方向的外磁场B中，微扰哈密顿为H1??Hls??H? ，其中?HlsB??eB??1dV???LZ?2SZ?L?S ，HB?22?2?crdr2?c??1?? ，

当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： Ylm?0?2l?1??l?m?!1/2im???cos?e

4??l?m?!Plm12????x?1?x??x?x；P1P1；

21/2????x x?31?xP21

P?x??3?1?x?

222南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理

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