数学分析(西北师范大学)7

S F 01（数）

Ch 7 计划课时：

运用导数研究函数性态 6 时 P 61—70

2001．09．08．

Ch 7 运用导数研究函数性态（ 6时 ）

§ 1 单调性与极值判法（ 4时 ）

一． 可微函数单调性判别法：

1． 单调性判法：

Th 1 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内f(x)↗(或↘) ?在(a,b)内

f?(x)?0 ( 或?0 ).

证 ?) ?)

?证f??(x)?0.

?

Th 2 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内f(x)↗↗( 或↘↘) ? ⅰ> 对?x?(a,b), 有f?(x)?0 ( 或?0); ⅱ> 在(a,b)内任子区间上f?(x)??0.

2. 单调区间的分离: f(x)的升、降区间分别对应f?(x)的非负、非正值区间. 例1 分离函数f(x)?x?x的单调区间. 更一般的例可参阅[4]P147—148 E13，14.

3二. 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少.

1. 可微极值点的必要条件: Fermat定理( 表述为Th3 ).

函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.

2. 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.

Th 4 (充分条件Ⅰ) 设函数f(x)在点x0连续, 在邻域(x0?? , x0)和( x0 , x0?? )内可导. 则

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ⅰ> 在(x0?? , x0)内f?(x)?0, 在( x0 , x0?? )内f?(x)?0时, 的一个极小值点;

? x0为f(x) ⅱ> 在(x0?? , x0)内f?(x)?0, 在( x0 , x0?? )内f?(x)?0时,? x0为f(x)的一个极大值点;

ⅲ> 若f?(x)在上述两个区间内同号, 则x0不是极值点.

Th 5 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点x0为函数f(x)的驻点且f??(x0)存在.则 ⅰ> 当f??(x0)?0时, x0为f(x)的一个极大值点; ⅱ> 当f??(x0)?0时, x0为f(x)的一个极小值点.

证法一 f??(x0)?limx?x0f?(x)?f?(x0)f?(x)?lim. x?x0x?x0x?x0当f??(x0)?0时, 在点x0的某空心邻域内

f?(x)?0, ? f?(x)与x?x0异号,……

x?x0证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.

Th 6 (充分条件Ⅲ ) 设f?(x0)?f??(x0)???f ⅰ> n为奇数时, x0不是极值点; ⅱ> n为偶数时, x0是极值点. 且f3(n?1)(x0)?0,而f(n)(x0)?0.则

(n)(x0)?0对应极小; f(n)(x0)?0对应极大.

例2 求函数f(x)?(2x?5)x的极值. [1]P190 E3 例3 求函数f(x)?x?22432的极值. [1]P190 E4 x3. 函数的最值: 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且仅有有限个可疑点

x1,x2,?,xn. 则

maxf(x)=max{ f(a),f(b),f(x1),f(x2),?,f(xn) };

x?[a,b] 63

minf(x)?min{ f(a),f(b),f(x1),f(x2),?,f(xn) }.

x?[a,b]

函数最值的几个特例:

ⅰ> 单调函数的最值:

ⅱ> 如果函数f(x)在区间[a,b]上可导且仅有一个驻点, 则当x0为极大值点时,

x0

亦为最大值点; 当x0为极小值点时, x0亦为最小值点.

ⅲ> 若函数f(x)在R内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.

ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. Ex [1]P195—196 1，3，4，6，7； [4]P175 25 ⑷⑹，26，27 ⑷⑸，28.

三. 最值应用问题:

A 1km C B 1.5km x E D 例4 A、B两村距输电线（直线）分别为1km 和1.5km（如图），CD长3km.. 现

两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长AE?BE最小.

解 设x如图，并设输电线总长为L(x).则有 L(x)?AE?EB?x2?1?(3?x)2?1.52, 0?x?3.

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L?(x)?x(3?x)2?1.52?(3?x)x2?1(3?x)?1.5 ? x?1222???0令,

? x(3?x)2?1.52?(3?x)x2?1, ? 1.25x2?6x?9?0.

解得 x?1.2 和 x??6 ( 捨去 ). 答： ??

四. 利用导数证明不等式:

我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用

导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P112—142 ). 本段仅介绍利用单调性

或极值证明不等式的简单原理.

1. 利用单调性证明不等式:

原理: 若f↗, 则对????, 有不等式f(?)?f(?). 例5 证明: 对任意实数a和b, 成立不等式

a?b 1?|a?b|? b |a|?.

1?|a|1? b 证 取f(x)?x1, (x?0). f?(x)??0, ?在[ 0 , ?? )内f(x)↗↗. 21?x(1?x)于是, 由 |a?b| ? |a|?|b|, 就有 f( |a?b| )?f( |a|?|b| ), 即

|a?b||a|?|b||a||b||a||b|?????.

1?|a?b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b| 2. 不等式原理: [4]P169—171.

不等式原理: 设函数f(x)在区间[a , ?? )上连续,在区间( a , ?? )内可导, 且f?(x)?0; 又 f(a)?0. 则 x?a时, f(x)?0. (不等式原理的其他形式.)

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