开发数学形象思维 拓展全面创新能力

开发数学形象思维 拓展全面创新能力

广东省河源市河源中学 谢建明

内容摘要：本文论述在高中数学教学中根据数学形象思维的特点——形象性、非逻辑性、粗略性、想象性等，利用数学教学中常用手段如何去开发数学形象思维和拓展学生的创新能力。

关键词：形象思维 创新能力 形象性 非逻辑性 粗略性 想象性线性形象思维 模型隐蔽化 思维空间 计算机

培养创新能力，首先要具备创造性思维。“创造性思维是创造过程中的思维活动，是抽象思维和形象思维两种思维新颖的灵活的有机结合。”数学是构造现代科技大厦的基石，它在培养和提高思维能力发挥着特异的功效；他的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的高级纳米材料，对发展能力发挥着举足轻重的作用。传统的数学教育重视抽象的逻辑推理演算，却忽视了灵活发散的形象思维，从而导致我国中小学生的数学文化精神严重“缺钙”。古代希腊数学家说：“从作图的直观上发现了数学的非演绎的无理的元素，这些元素是使得作图的直观可与音乐和艺术相媲美。”这正是数学形象思维重要性的一个缩影。因此，发展形象思维是培养创新能力的一个必要的突破口。

一、形象思维的含义

形象思维是人类运用事物存在的具体、感性的形象来认识和把握客观世界的思维方式。

对于形象思维，它最早由俄国文艺评论家别林斯基提出，那时常用于文艺领域。我国科学家钱学森在20世纪80年代把它提高到思维

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形式的科学高度。

二、形象思维的基本特点 （一）形象性

形象性是形象思维最基本的特点。形象思维所反映的对象是事物的形象，思维形式是意象、直感、想象等形象性的观念，其表达的工具和手段是能为感官所感知的图形、图象、图式和形象性的符号。形象思维的形象性使它具有生动性、直观性和整体性的优点。

（二）非逻辑性

形象思维不像抽象（逻辑）思维那样，对信息的加工一步一步、首尾相接地、线性地进行，而是可以调用许多形象性材料，一下子合在一起形成新的形象，或由一个形象跳跃到另一个形象。它对信息的加工过程不是系列加工，而是平行加工，是面性的或立体性的。它可以使思维主体迅速从整体上把握住问题。形象思维的结果有待于逻辑的证明或实践的检验。

例1：向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果水量V与高h的函数关系如下左图所示，那么水瓶的形状是如下右图中的 （ ）

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【分析】本题是一道应用题，题中没有任何参数.条件用函数图象表示V和h间的函数关系，把只用图形表示瓶子的形状放在选择枝的位置，显然，这里不通过具体的计算来进行判断，需对所给图形认真观察分析，抓住其特点进行思考与判断.这就需要比较强的非逻辑性形象思维能力. （三）粗略性

形象思维对问题的反映是粗线条的反映，对问题的把握是大体上的把握，对问题的分析是定性的或半定量的。所以，形象思维通常用于问题的定性分析。抽象思维可以给出精确的数量关系，所以，在实际的思维活动中，往往需要将抽象思维与形象思维巧妙结合，协同使用。 又如上例1也体现了形象思维的粗略性。 （ 四）想象性

想象是思维主体运用已有的形象形成新形象的过程。形象思维并不满足于对已有形象的再现，它更致力于追求对已有形象的加工，而获得新形象产品的输出。所以，形象性使形象思维具有创造性的优点。这也说明了一个道理；富有创造力的人通常都具有极强的想象力。

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例2．（2001年高考题第18题）

如图1，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD

中，?ABC?900，SA?面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=.

（1）求四棱锥S—ABCD的体积；

（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值 【分析】本题第（2）问关键是确定二面角的平面角.由于面SCD与面SBA二面角的棱未作出，先作出面SCD与面SBA的棱是首要任务。由于面SCD、面SBA、

图2

图1

12面ABCD两两相交，因此面SCD与面SBA的交线必过面SCD、面SBA与面ABCD的交线AB与DC的交点，为此延长BA、CD相交于E，连结SE，则SE是所求二面角的棱。（如图2）其次要求考生认真观察，分析题的条件，依靠想象得出?BSC是所求二面角的平面角，然后再加以证明。这样就会目标明确，化难为易，迅速解决此题.这里正体现了形象思维的想象性。

三、开发数学形象思维，拓展学生的创新能力 （一）题意明确化的线性形象思维

在高中数学的函数、二次曲线方程和立体几何的内容的习题中可以强化这类思维。立体几何中常用的图形割补法、图形颠置法、点线

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转移法等，在函数和平面解析几何中常用的数形结合思想等，这些都是培养形象思维较好的方法。

y2例3：过点M（1，1）作直线L交双曲线x-?1于A、B两点，

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是否存在直线L使线段AB的中点恰为M？

常规解题方法用设两点法和待定系数法求出直线L，然后代入曲线得出一元二次方程，再用判别式法考虑“△”的大小，从而判断是否存在，其过程比较繁。如果从点位置去分析此题，就简便多了。通过作图发现，我们可以得出这样一系列的推论。①当点在双曲线内时，

2y0存在只交同一部分的直线。此时该中点（x0,y0）满足x0->1.②当

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点位于渐近线与双曲线所围成的区域内，找不到这样的直线，此时

2y00< x0-<1.本例就是。③当点位于两渐近线围成的区域内，存在交

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2y0于两部分的直线L，此时x0-<0.

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上述例题是从问题的题设展开形象思维发散,从变化中抓住问题的本质,值得学习。

例4 长方体一个顶点上三条棱的长分别为a,b,c (a,b,c两两不等)，一条对角线为AB，长方体的表面上A，B两点间的最短路程为

a2?(b?c)2,则a、b、c的大小关系是___________。

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