2012届北京市朝阳区高三文科数学培优材料—数列

2012届高三文科培优材料-----数列

【考纲解读】

1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.

【考点预测】

1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.

2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.

3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.

4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意：

1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.

2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.

3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.

4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.

5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.

6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.[来源:Z§xx§k.Com] 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【要点梳理】

1.证明数列?an?是等差数列的两种基本方法：（1）定义法：an?1?an?d为常数；（2）等差中项法：2an?an?1?an?1(n?2).

2.证明数列?an?是等比数列的两种基本方法：（1）定义法：差中项法：an?an?1?an?1(n?2).

3.常用性质:(1)等差数列?an?中,若m?n?p?q,则am?an?ap?aq; (2)等比数列?an?中,若m?n?p?q,则am?an?ap?aq.

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2an?1?q(非零常数)；（2）等an 4.求和:

(1)等差等比数列,用其前n项和求出;

(2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前n项和的常用性质. 【考点在线】

考点1 等差等比数列的概念及性质

在等差、等比数列中，已知五个元素a1,an,n,d或q，Sn中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a1和公差（或公比q）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如

（1）等差数列?an?中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；等比数列?an?中，若

m?n?p?q，则aman?apaq .

（2）等差数列?an?中，Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?Skn?Sk?n?1?,?成等差数列。其中Sn是等差数列的前n项和；等比数列?an?中（q??1），S,SS?n3Sn2,?SnkS?,?nn2S,nkn1????成等比数列。其中

Sn是等比数列的前n项和；

（3）在等差数列?an?中，项数n成等差的项an也称等差数列. （4）在等差数列?an?中，S2n?1??2n?1?an；S2n?n?an?an?1? .

在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.

a3?a7?37，a4?a6?a8?例1. (2011年高考重庆卷理科11)在等差数列?an?中，则a2? .

【答案】74

【解析】a2?a8?a4?a6?a3?a7?37，故a2?a4?a6?a8?2?37?74 【名师点睛】本题考查等差数列的性质.

【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键.

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考点2 数列的递推关系式的理解与应用

在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若an?an?1?n,且a1?1；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列?an?的通项.

an??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1??a1?n??n?1????2?1?n?n?1?2.

再看“逐商法”即an?1?n?1且a1?1，可把各个商列出来求积。

anan?anan?1a????2?a1?n?n?1??n?2??2?1?n! an?1an?2a1另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题. 例2.（2011年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则a6=( )

44

（A）3 ×4 （B）3 × 4+1

44

(C) 4 （D）4+1

【答案】A

【解析】由题意，得a2=3a1=3.当n ≥1时，an+1 =3Sn(n ≥1) ①，所以an+2 =3Sn+1 ②，

4

②-①得an+2 = 4an+1 ，故从第二项起数列等比数列，则a6=3 ×4.

S1 n=1，数列前n项和S和通项【名师点睛】本小题主要考查an与Sn的关系：a??n?n?Sn?Sn?1 n?2an是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式an?Sn?Sn?1时，一定要注意条件n?2，求

通项时一定要验证a1是否适合。解决含an与Sn的式子问题时，通常转化为只含an或者转化为只Sn的式子.

【备考提示】：递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点.

n

练习2.（2011年高考辽宁卷文科5)若等比数列{an}满足anan+1=16，则公比为（ ）[Z （A）2 （B）4 （C）8 （D）16

【答案】B

2 22

【解析】设公比是q，根据题意a1a2=16 ①，a2a3=16②，②÷①，得q=16 .因为a1q=16>0,

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a1>0，则q>0，q=4.

考点3 数列的通项公式an与前n项和公式的应用

等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.

n等比数列的前n项和公式Sn?a1?1?q??a1?a1qn（q?1），因此可以改写为

2

1?q1?q1?qSn?aqn?b (a?b?0)是关于n的指数函数，当q?1时，Sn?na1.

例3.(2011年高考江苏卷13)设1?a1?a2???a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是 . 【答案】33

【解析】由题意：1?a1?a2?a1q?a2?1?a1q?a2?2?a1q，

23?a2?q?a2?1,a2?1?q2?a2?2

【答案】A

【解析】通过8a2?a5?0，设公比为q，将该式转化为8a2?a2q?0，解得q=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式.

考点4. 数列求和

例4. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科20题)

3a1?1,a5?256；Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1?2,5S5?2S8. 已知{an}为等比数列，

（1） 求{an}和{bn}的通项公式； （2） 设Tn?a1b1?a2b2??anbn，求Tn.

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【解析】（1） 设{an}的公比为q,由a5?a1q,得q?4.所以an?4. 设{bn}的公差为d，由5S5?2S8得d?所以bn?b1?n?1?d?3n?1. （2）

4n?133a1??2?3, 22Tn?1?2?4?5?4?8??4n?1?3n?1?① 4Tn?4?2?42?5???4n?3n?1?②

②-①得：3Tn??2?34?4?...?4所以Tn??n??2n?1??4?3n?1??2??3n?2??4.

nn??2?n2??4?. 3?3【名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前n项和公式、数列求和等基础知

识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. 【备考提示】：熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键. 练习4. （2010年高考山东卷文科18）

已知等差数列?an?满足：a3?7，a5?a7?26.?an?的前n项和为Sn. （Ⅰ）求an 及Sn；（Ⅱ）令bn?1（n?N?）,求数列?bn?的前n项和Tn. 2an?1【解析】（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，因为a3?7，a5?a7?26，所以有

考点5 等差、等比数列的综合应用 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

例5．(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1?a (a?R),

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