10级理工高数上期末考试卷A评分标准

10级理工高数上期末试卷A评分标准

一、选择题：（每小题 3 分，共 18 分） 1.C 2.B 3.D 4.C 5.C 6.D 二、填空题：（每小题 2 分，共 18 分）

n1. 7 2. f?(xlnx)(lnx?1)dx 3. (?1)n![11?]n?1n?1 x(x?1)4. (2,?5) 5.

31x?1?15?C 7. 8 8. 2arcsin1 9. 6. arctan2224

三、计算题：（每题7分，总14分） 1. 求极限 limx?0x?arcsinx. 2xsin3xx?arcsinxx?arcsinx解：lim2?lim?lim3x?0xsin3xx?0x?03x1?121?x2?lim1?x?1·········4分 222x?09x9x1?x1?x212?lim?? ·········7分

22x?0189x1?xdyd2y?x?lnsint2.设? , 求,2.

dxdx?y?cost?tsintdydy/dt?sint?sint?tcost解：········3分 ???tsint ·

1dxdx/dt?costsintdydyd()d()/dtd2ysint?tcostdx?dx········7分 ???sint?tant?tsint ·2costdxdxdx/dtsint四、计算题（每小题 7分，共 14 分）

?2ex?a,当x?01.设f(x)??2,欲使f(x)在x?0处可导,试求a,b.

?x?bx?1,当x?0解：由连续性， f(0?0)?lim(2ex?a)?2?a?f(0)?1，得a??1·········3分

x?0?02ex?1?1x2?bx?1?1?2，f??(0)?lim?b，得b?2.·由可导性，f??(0)?lim····7分

x?0?0x?0?0x?0x?0第1页 共3页

2.求由方程arctan解：arctany?lnx2?y2所确定的隐函数y?y(x)的二阶导数dy. xy1?ln(x2?y2)，两端对x求导， x21y??x?y11 ·········3分 ???(2x?2y?y?) ·222y22x?yx1?()xx?y??y?x?y?y? 从而有：y??x?y， ··········5分 x?y所以dy?x?y·········7分 dx ·

x?y五、计算题（每小题 7分，共 14 分）

?1??1?x1.设f(x)???1??1?exx?0 ，求定积分

x?0令x?1?t10?02f(x?1)dx.

解：?f(x?1)dx002?xx1101?e?e111··2分 f(t)dt?dx?dx?dx???1??11?ex?01?x??11?ex?01?xdx·

110111?ex?exex······4分 ??dx?dx?(1?)dx??01?x??11?ex?01?xdx ·?11?ex1·······7分 ?[x?ln(1?ex)]|0?1?ln(1?x)|0?ln(1?e) ·

2. 求心形线?解：s?2?a(1?cos?)(a?0)的全长.

??0????d??2??22?0········3分 (?asin?)2?[a(1?cos?)]2d? ·

?2??0 ·········7分 2a(1?cos?)d??4a?cosd??8asin|?0?8a0222??六、计算题（每小题 8分，共 16 分）

1.求解微分方程 y???y??2y?e(6x?5).

2x解： r2?r?2?0，r1??1,r2?2

对应齐次微分方程通解：Y?C1e?x?C2e2x， ·········3分

又?········5分 ?2,Pm(x)?6x?5，所以令y*?x(ax?b)e2x， ·

y*??(2ax?b?2ax2?2bx)e2x，

第2页 共3页

(y*)???(4ax2?8ax?4bx?4b?2a)e2x，代入原方程，有：a?b?1，

所以y*·········7分 ?x(x?1)e2x， ·

于是，原方程通解：y?C1e?x?C2e2x?x(x?1)e2x ··········8分

?,对于OA?上任意一点P(x,y),曲线弧OP?与直2. 设有连接点O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA

?的方程. 线段OP所围图形的面积为x，求曲线弧OA2解：设曲线方程为y?y(x)，

1xy?x2，y(1)?1 ············3分 ?02111两端对x求导，得：y?y?xy??2x，即y??y??4，

22x依题意，得：

xy(x)dx?y?e??P(x)dx(?Q(x)e?P(x)dxdx?C)1??(?)dxx?e(?(?4)e?(?x)dx1dx?C)?x(?4lnx?C)········6分

因为y(1)?1，得C?1，因此所求曲线方程为y??七、计算题（6分）

?x(?4lnx?1)x?0 ···········8分 x?0?0x?3x2,0?x?1已知f(x)??,且?(x)??f(t)dt，求?(x).

???0,其它解：当x?0时，?(x)?当0?x?1时，?(x)?当x?1时，?(x)??xx??········2分 f(t)dt??0dt?0， ·

??0x??0x???········2分 f(t)dt??0dt??3t2dt?x3， ·

012x??01?x??f(t)dt??0dt??3tdt??0dt?1，

?0,x?0?3所以：?(x)??x,0?x?1 ··········2分

?1,x?1?第3页 共3页

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