《大学物理学》第1-6章课后习题解答

大学物理学习题答案

习题一答案 习题一

1.1 简要回答下列问题：

(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相

等？

(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？

(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什

么？

(4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一

定保持不变？

??dvdv?????0各代表什么运动？ (5) ?r和?r有区别吗？?v和?v有区别吗？?0和dtdt(6) 设质点的运动方程为：x?x?t?，y?y?t?，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

出r?x2?y2，然后根据

drd2rv? 及 a?2

dtdt而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

22?d2x??d2y??dx??dy?v?????? 及 a??2???2?

?dt??dt??dt??dt?你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？

(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？

(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此

其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？

(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？

(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，an、at、a三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？

1.2 一质点沿x轴运动，坐标与时间的变化关系为x?4t?2t2，式中x,t分别以m、s为单位，试计算：(1)在最初2s内的位移、平均速度和2s末的瞬时速度；(2)1s末到3s末的平均加速度；(3)3s末的瞬时加速度。

1

22解：

(1) 最初2s内的位移为为： ?x?x(2)?x(0)?0?0?0(m/s) 最初2s内的平均速度为： vave??x0??0(m/s) ?t2t时刻的瞬时速度为：v(t)?dx?4?4t dt2s末的瞬时速度为：v(2)?4?4?2??4m/s

?vv(3)?v(1)?8?0????4m/s2 ?t22dvd(4?4t)???4(m/s2)。 (3) 3s末的瞬时加速度为：a?dtdt (2) 1s末到3s末的平均加速度为：aave?1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0，质点出发后，每经过?时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后，质点的速度和位移。

解: 由题意知，加速度和时间的关系为

ba?a0?t

?利用dv?adt，并取积分得

b2b??v?at?t ，dv?a?tdv0?0???2???00?再利用dx?vdt，并取积分[设t?0时x0?0]得

vt12b3?x?a0t?t ，dx?vdt??26?x00xt????1.4 一质点从位矢为r(0)?4j的位置以初速度v(0)?4i开始运动，其加速度与时间的关系

为a?(3t)i?2j.所有的长度以米计，时间以秒计.求：

（1）经过多长时间质点到达x轴；

（2）到达x轴时的位置。 解： v(t)?v(0)???????32????a(t)dt?4?ti?(2t)j ???02??t?t?13????2 r(t)?r(0)??v?t?dt??4t?t?i??4?t?j

02??2（1） 当4?t?0，即t?2s时，到达x轴。

??t?2s（2） 时到达x轴的位矢为 ：r(2)?12i

2

即质点到达x轴时的位置为x?12m,y?0。

21.5 一质点沿x轴运动，其加速度与坐标的关系为a???x，式中?为常数，设t?0时刻

的质点坐标为x0、速度为v0，求质点的速度与坐标的关系。

d2x???2x 解：按题意 2dtd2xdvdvdxdv???v由此有 ??x?， 2dtdxdtdxdt2即 vdv???xdx， 两边取积分 得

122?vv0vdv???2?xdx，

x0x2222211v2?1v???x??x0 02222?v?2由此给出 v???A2?x2，A2??0??x0

???

1.6 一质点的运动方程为r(t)?i?4t2j?tk，式中r，t分别以m、s为单位。试求：

?????????dv?dr?(8t)j?k， a??8j 解：(1) 速度和加速度分别为： v?dtdt????2 (2) 令r(t)?xi?yj?zk，与所给条件比较可知 x?1，y?4t，z?t

所以轨迹方程为：x?1,y?4z2。

1.7 已知质点作直线运动，其速度为v?3t?t(ms)，求质点在0~4s时间内的路程。 解: 在求解本题中要注意：在0~4s时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出

442?1(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。

现往返。如果计算积分vdt，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分vdt。

002令v?3t?t?0，解得t?3s。由此可知：t?3s时，v?0，v?v； t?3s时，v?0；

??而t?3s时，v?0，v??v。因而质点在0~4s时间内的路程为 s?2vdt?vdt?(?v)dt?3t?tdt?3t?t????dt ?????20030343434 3

1??31?1?3??t2?t3???t2?t3??6(m)。

3?0?23?33?21.8 在离船的高度为h的岸边，一人以恒定的速率v0收绳，求当船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。

解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿X轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出

O X

r h v0

x Y 习题1.8图

34?x2?r2?h2

两边求微分，则有

2x船速为

dxdr?2r dtdtdxrdr? dtxdtv?按题意

dr??v0(负号表示绳随时间t缩短)，所以船速为 dtx2?h2v??v0

x负号表明船速与x轴正向反向，船速与x有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为

2h2v0dva???3

dtx负号表明船的加速度与x轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与x有关，说明船作变加

速运动。

1.9 一质点沿半径为10cm的圆周运动，其角坐标?(以弧度rad计)可用下式表示

??2?4t3

4

其中t的单位是秒(s)试问：(1)在t?2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)当?等于多少时其总加速度与半径成45?角 ？

解：(1) 利用 ??2?4t3，??d?/dt?12t2，??d?/dt?24t，

得到法向加速度和切向加速度的表达式

an?r?2?144rt4，at?r??24rt

在t?2s时，法向加速度和切向加速度为：

an?144rt4?144?0.1?24?230.4(m?s?2)，

at?24rt?24?0.1?2?4.8(m?s?2)

4(2) 要使总加速度与半径成45?角，必须有an?at，即144rt?24rt

解得 t3?1/6，此时 ??2?4t3?2.67rad

1.10 甲乙两船，甲以10km/h的速度向东行驶，乙以15km/h的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？ 解：以地球为参照系，设i、j分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为

??????v1?10ikm/h，v2??15jkm/h ?????根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为

v?v1?v2?(10i?15j)km/h

15?v?102?152?18.1km/h，??arctg?56.31?

10?即在乙船上看，甲船速度为18.1km/h，方向为东偏北56.31

?同理，在甲船上看，乙船速度为18.1km/h，方向为西偏南56.31。

1.11 有一水平飞行的飞机，速率为v0，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v向前射击。略去空气阻力，

(1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程； (2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；

(3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？

解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为v1?v?v0，而x?v1t，y??0.5gt2 消去时间参数t，得到轨迹方程为：

gx2（若以竖直向下为y轴正方向，则负号去掉，下同） y??22(v?v0)gx2 (2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为v，同上可得轨迹方程为y??2

2vgx2 (3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用?x代替x，?y代替y，可得 y?.

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