数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第七章

第七章 实数的完备性

一、练习题

1. 设{(an,bn)}是一严格开区间套,即

a1

n??an<ξ

2. 试举例说明在有理数集内,所有完备性定理都不能成立. 3. 试用区间套定理证明数列的单调有界定理. 4. 试用确界原理证明区间套定理.

??1?1?5. 设H=??,?|n?1,2,??是一个无限开区间集,问:

??n?2n??(1) H能否覆盖(0,1)?

(2) 能否从H中先出有限个开区间覆盖?0,??

?2??1?(3) 能否从H中先出有限个开区间覆盖??1?,1?? ?100?6. 证明: 若x∈[a,b],若x∈(a,b)的聚点;反之,若x为[a,b]的聚点,则x∈[a,b]. 7. 证明:单调数列{xn}若存在聚点,则一定是唯一的,且是{xn}的确界. 8. 试用致密性定理证明单调有界定理. 9. 试用聚点定理证明区间套定理. 10. 试用有限覆盖定理证明聚点定理. 11. 试用聚点定理证明柯西收敛准则. 12. 试用确界原理证明聚点定理

13. 设f为(-∞,+∞)上连续的周期函数,试证f在(-∞,+∞)上有最大值与最小值. 14. 证明:任何实系数奇次多项式方程至少有一个实根

15. 设I为有限区间.证明:若f在I上一致连续,则f在I上有界.

16. 证明: 若f在?a,???上连续,limf(x)存在且有限,则f在?a,???上一致连续.

x???17. 设f在(a,b)内连续,x1,x2,…xn∈(a,b),证明存在ζ∈(a,b),使得

f(ζ)=

f(x?nj?11nj).

18. 试用覆盖定理证明根的存在性定理.

19. 证明:在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限. 20. 求下列数列的上、下极限：

（1）{1+（-1）n}； （2）?(?1)??n??； 2n?1?n（3）{2n+1}； （4）??2n?n?1sinnπ??； 4?（5）???n2?1n}sin?π?nπn|cos; (6)??n?3??|? ?21. 证明下列数列上、下极限的关系式:

(1) liman=-lim(-an), liman=-lim(-an);

n??n??n??n??(2) liman+limbn≤lim(an+bn);

n??n??n??n??liman+limbn≥lim(an+bn)

n??n??(3) liman-limbn≤lim(an-bn),

n??n??n??n??liman-limbn≥lim(an-bn);

n??n??(4) 若an,bn>0,则limanlimbn≤limanbn,

n??n??n??n??limanlimbn≥limanbn;

n??n??(5) 若liman>0,则limn??1ann??=

1n??liman.

22. 数列{xn}的上(下)确界就是该数列的上(下)极限,对吗?为什么? 23. 证明:若{an}为单调递增数列,则

n??liman=liman

n??24. 证明:若an>0(n=1,2,…)且liman·limn??1ann??=1, 则数列 {an}收敛.

25. 证明: 若an≤bn(n=1,2,…),则

n??liman≤limbn, liman≤limbn.

n??n??n??26. 证明设{xn}为有界数列.

(1)A为{xn}上极限的充要条件是

A=limsup{xk};

n??k?n(2)A为{xn}下极限的充要条件是 A=liminf{xk}.

n??k?n27. 证明:{xn}为有界数列的充要条件是{xn}的任一子列都存在它的收敛子列. 28. 设f(x)在(a,b)内连续,且limf(x)=limf(x)=0.证明f(x)在(a,b)内有最大值或最小值.

x?a?x?b?29. 证明: 设f(x)在[a,b]上连续,若{xn}?[a,b],且limf(xn)=A,则必存在点x0∈[a,b],使得

n??f(x0)=A.

30. 设函数f和g都在区间I上一致连续.

(1) 证明f+g在I上一致连续;

(2) 若I为有限区间,证明f·g在I上一致连续;

(3) 若I为无限区间,举例说明f·g在I上不一定一致连续.

31. 证明:设函数f(x)定义在有限区间(a,b)上,若对于(a,b)内任一收敛数列{xn},极限limf(xn)都

n??存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.

32. 设函数f在?a,???上连续,且有渐近线,即有数b与c,使得lim[f(x)-bx-c]=0,证明f在

x????a,???上一致连续.

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