第一讲 定积分的数值计算

第一讲 定积分的数值计算

【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识，并上升到理论分析的角度。 【主要内容】定积分的数值计算方法，包括：矩形法、梯形法与辛普森法；对误差的了解：精度与收敛速度

引言

首先回忆一下函数 内任意插入

在区间

：

把 任取数 式

分割成

个小区间，第

，做乘积

个子区间的长度为

上的定积分概念的建立过程。考虑在区间

个分点的分法

；

，把所有这些乘积相加得到和

.

如果无论区间

怎样划分及分点

怎样选取，当

上可积，且称此常数为

时，该和式

都趋于同一常数，则称函数 上的定积分，即

在区间 在区间

。

称和式

为积分和或黎曼和。

和点

在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割显然，对于区间的不同分割

或者点

的选取都是任意的。

的选取不同，得到的和式一般不同。定积分的定

义中要求在对区间无限细分（ ）的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。这一点初学者较难理解。我们将通过数值实验来加以理解。 当 在区间 用牛顿-莱布尼兹公式

上连续，

为

在区间

上的原函数时，我们可以

方便地求得。但是有些函数其原函数不能用初等函数表示出来，这样对应的定积分通常也不能用牛顿-莱布尼兹公式算出其精确值。而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。我们将利用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。

实验一 定积分概念的深化——达布和

设函数

（

在区间 上有界。考虑将将区间

）的分法

，设

在子区间

任意分割成 个子区间

上的上、下确界分别

为 ，称 为 在子区间

上的振幅，和式

分别称为

关于该分割

的达布（Darboux）大和与达布小和。由定义可知，函数

对应于同一分割 的积分和有无穷多个，但达布大和与达布小和却都各只有一个。当

在区间 上不连续时，达布和不一定是积分和，但它们都与积分和有着密切的联系，容

易知道对于同一分割 ，有

.

可以证明

在区间

上可积的充分必要条件是

现在假定 间 子区间

上以

上以

在区间

上非负连续，那么达布大和

在几何上就表示在子区

表示在

为高所做的 个小矩形构成的阶梯形的面积；达布小和

个小矩形构成的阶梯形的面积，它们的差

为高所做的

就是这两个阶梯形面积之差。由于函数

在区间

上可积，所以当

，即

当区间 被无限细分时，这两个阶梯形面积都趋于该曲边梯形的面积，从而这两个阶梯

形面积之差为零，即

.

当考虑对区间

进行

等分时，我们有

相应地将

特别，如果

、

分别记作

在区间

和 .

上单调增加，那么达布小和就是左和

，

达布大和就是右和

；

如果

在区间

上单调减少，那么达布大和就是左和，达布小和就是右和，即

数值实验1对区间

随

上作 等分，观察 在

上的达布大和与达布小

和之差

增加时的变化趋势。

Mathematica 程序（ch1-ex1.nb） 实验过程：

(1) 改变分割次数，观察；（2）改变被积函数观察 实验结果分析与理解：

从实验看出，对于函数

随

，它在 上的达布大和与达布小和之差

增加而趋于0. 达布大和与达布小和分别趋于曲边三角形的面积。

实验二 定积分数值计算方法——近似计算

如果 在区间

称之为矩形求积公式。当

当 当

上可积，那么我们已经知道用它的左和或右和来逼近它，我们越大，逼近的精度越高。根据上述求积公式 为增函数时， 为减函数时，

， ，

我们甚至知道什么时候左和及右和给出的是过剩的近似值还是不足的近似值。

从上面的数值实验例子可以看到，当 =2时，左和给出了一个相当差的不足近似值，而右和也只给出了一个相当差的过剩近似值。当然，当 充分大时，它们都能给出好的近似值。但是，在给定 的条件下，我们如何修改计算求积公式，使本例中左和与右和产生的不足与过剩相互抵消，提高计算的精度？

一个办法是根据单调函数的特点，使用中点值，得到如下中点求积公式

；

另一办法是取左和与右和的平均值，得到如下梯形求积公式

.

数值实验2 在给定分割数

观察使用左求积公式（左和）、右求积公式（右 的条件下，

的值的精度情况。

和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分

Mathematica 程序（ch1-ex2.nb）

实验过程：(1) 改变分割次数，观察；（2）改变被积函数观察 实验结果分析与理解

IntegrateValue= 2.66666666666666667

从实验中，我们看到，对于给定 的条件下，使用左求积公式（左和）、右求积公

式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分

最好的精度。随着 的增加，它们的精度也相应提高。

的值时，中点公式具有

实验三 更高的精度要求与收敛速度——对误差的了解

当我们计算一个近似值时，总会涉及到误差，即准确的答案与近似值之差。我们从来不知道准确的误差，假如知道，也就知道准确的答案了。因此，我们有必要对误差有好的了解。

记

，其中

是定积分 的积分和，它是定积分 精确值的一个近似值，

称为误差。显然，误差越小，近似值越接近精确值，这时，我们说精度越高。这里，我

们通过实验来了解如何估计误差界限以及怎样使误差变小的方法。

数值实验3 使用左求积公式（左和）、右求积公式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分

观察当分割数 ，

依次增加10倍或100倍时误差的变化情况。

在观察过程中，注意各近似值中小数点后有几位相同。继续增大 ，直到我们希望的位数停止变化，我们称之为稳定。最令人感兴趣的是误差不是随机的，而是随 增大按一定规律变化。

Mathematica 程序（ch1-ex3.nb）

实验过程：(1) 改变分割次数的倍数，观察小数点后数字的变化；（2）改变被积函数观察

实验结果

对实验结果的观察，我们能得到如下事实：

（1） 左、右求积公式所致误差具有相反的符号，但在数值上近乎相等。这是因为，函

数

在

上单调增加，左和总是不足近似值，右和总是过剩近似值。

在每个子区间上几乎是一条

而且，因为每个子区间长度很小时，连续函数

直线，那么左和与右和的误差几乎相等。

（2） 中点求积公式与梯形求积公式能产生更好的近似。因为它们较好地消除了左和与

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