概率论与数理统计-章节习题加总结-华南理工大学 (3)

第4章 二维随机变量

一、大纲要求

（1）理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的意义、性质及其基本形式：离散型联合分布、边缘分布和条件分布；连续型联合概率密度、边缘密度和条件密度.会利用二维概率分布求有关事件的概率.

（2）理解二维随机变量的独立性及不相关的概念，掌握二维离散型和连续型随机变量独立的条件.

（3）掌握二维均分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.

（4）会求两个独立的二维随机变量的简单函数的分布.

二、重点知识结构图

联合分布 F(x,y)=P{X?x,Y?y} X与Y独立 F(x,y)?FX(x)?FY(y) 二维 随机变 量边缘分布 FX(x)?P{X?x}?limF(x,y)y??FY(y)?P{Y?y}?limF(x,y)x?? 离散型 分布条件 P{X?xi|Y?yi}? P{X?xi,Y?yi} P{Y?yi} 连续型 fX|Y(x|y)?离散型联合分布律 f(x,y) fY(y)??pi?1j?1??ij?1,0?pij?1 ????连续型联合概率密度 f(x,y)?0,??????f(x,y)dxdy?1 随机变量 函数的分布 均匀分布 正态分布 f(x,y)?{1/SD,当(x,y)?D0,其它 22(X,Y)~N(?1,?2,?1,?2,?) Z?X?Y 分布 fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx ????三、基本知识

1.二维随机变量及其分布

定义1 设E是一个随机实验,它的基本空间为??{?}x1(?),x2(?),?,xn(?)是定义在这个基本空间?上的n个随机变量,则X=(x1(?),x2(?),?,xn(?))称n维随机变量.

定义2 设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x、y,二元函数 F(x,y)=P{X?x,Y?y}称为(X,Y)的联合分布函数.

定理1 F(x,y)为二维随机变量(X,Y)联合分布函数，则 （1）F(x,y)对每个变量是单调不减的函数，即 当x1?x2时，F(x1,y)?F(x2,y)； 当y1?y2时，F(x,y1)?F(x,y2). （2）F(x,y)对每个变量是左连续的，即

F(x?0,y)?F(x,y),F(x,y?0)?F(x,y).

（3）F(??,y)?F(x,??)?F(??,??)?0,F(??,??)?1. （4）对任意两点(x1,x2),(y1,y2),若

x1?x2,y1?y2，则

F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)?F(x1,y1)?0.

2．二维离散型随机变量

定义 若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值是有限或可列多对

(xi,yi),(i,j?1,2,?)，则称（X，Y）的联合分布律（概率函数）.其具有以下性质：

①0?pij?1(i,j?1,2,?). ②??pij?1.

i?1j?1??离散型随机变量（X，Y）的分布函数，可用分布律表示为

F(x,y)???P{X?xi,Y?yj}???pij.

xi?xyj?yxi?xyj?y3．二维连续型随机变量

定义 若二维随机变量（X，Y）的分布函数F(x,y)是二元连续函数，且可表示为积分的形式：

F(x,y)??x?????yf(u,v)dudv

则称（X，Y）是二维连续型随机变量.被积函数f(x,y)为（X，Y）的联合概率密

度，其具有如下性质： ①f(x,y)?0. ②??????????f(x,y)dxdy?1.

称以

f(x,y)?{的面积.

称密度函数

f(x,y)?12??1?21??21/SD,当(x,y)?D0,其它

为密度函数的二维随机变量（X，Y）服从二维均匀分布.其中SD为平面区域D

e?[(x??1?1)?2?(x??1?1)(y??2?2)?(y??2?2)2]/2(1??2)

2为二维正态分布，记作(X,Y)～N(?1,?2,?12,?2,?).

4．边缘分布

若二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，则称随机变量X或Y的分布函数Fx(x)或FY(y)为F(x,y)的边缘分布函数; 对于二维离散随机变量（X，Y），其边缘分布律为

pi??P{X?xi}??P{X?xi,Y?yj}??pij（i=1,2,?）

jjp?j?P{Y?yj}??P{X?xi,Y?yj}??pij（j=1,2,?）

ii对于二维连续随机变量（X，Y），其边缘密度函数为

fX(x)??f(x,y)dy,fY(y)??f(x,y)dx

????????5 条件分布

对二维离散型随机变量，当p?j>0时，称

P{X?xi|Y?yj}?P{X?xi,Y?yj}P{Y?y?j}?pijp?j（i=1,2,?）

为Y=yj条件下X的条件分布律. 类似地，当pi?>0时，称

P{Y?yj|X?xi}?pijpi?（j=1,2,?）

对二维连续型随机变量，当fY(y)?0时，称fX|Y(x|y)?为Y=y条件下X的条件密度.

f(x,y)（???x???） fY(y)类似地，当fX(x)?0时，在X=x条件下Y的条件密度为

fY|X(y|x)?

f(x,y)（???y???） fX(x)6．二维随机变量的相互独立性 定义 若对任意实数x、y有

F(x,y)?FX(x)FY(y)

则称随机变量X、Y互独立的.

对二维离散型随机变量，X、Y相互独立的充要条件是：对任意一组可能值xi、

yj,有

P{X?xi,Y?yj}?P{X?xi}P{Y?yj}

即 pij?pi?pj （i,j=1,2,?）

对二维连续型随机变量，X、Y相互独立的充要条件是：对任意x、y,有

f(x,y)?fX(x)fY(y) 四、典型例题

例1设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P{X??1}?P{Y??1}?

P{X?1}?P{Y?1}?1,则下列各式中成立的是（ ）. 21 (B) P{X?Y}?1 211(C) P{X?Y?0}? (D) P{XY?1}?

44(A) P{X?Y}?解 P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}

=

11111×+×= 22222 P{X?Y?0}?P{X?1,Y??1}?P{X??1,Y?1}

=

11111×+×= 22222 P{XY?1}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}

11111×+×= 22222所以B、C、D项均不对，只有A项正确.

=

例2（1999年研究生入学考试数学四）已知随机变量X1和X2的概率分布为

1?1???10?0X1～??，X2～?1/21/2?， 1/41/21/4????且P{X1X2?0}?1，求X1和X2的联合分布列. 解 由P{X1X2?0}?1，有P{X1X2?0}?0，故

p12?P{X1??1,X2?1}?0,p32?P{X1?1,X2?1}?0. 由p11?0?1/4,得p11?1/4；由p31?0?1/4,得p31?1/4； 由p11?p21?p31?p?1，即1/4?p21?1/4?1/2 ，得p21?0； 最后由p21?p22?p2?，即0?p22?1/2，得p22?1/2. 于是所求的X1和X2的联合分布列

X1 0 1 pi? X2

-1 1/4 0 1/4 0 0 1/2 1/2 1 1/4 0 1/4 p?j 1/2 1/2 1

例3甲乙两人独立地进行两次射击，设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X、Y

分别表示甲和乙的命中次数，试求X和Y的联合分布率.

解 设事件Ai={甲第i次击中}，Bi={乙第i次击中}，则事件Ai={甲第i次未击中}，Bi={乙第i次未击中}，（i=1,2）,且由两次实验（射击）相互独立可知Ai、Bi相互独立，又P(Ai)?0.2，P(Bi)?0.5，P(Ai)?0.8，P(Bi)?0.5，引入随机变量

?1当Ai发生?1当Bi发生Xi??(i?1,2) Yi??(i?1,2 )?0当Ai不发生?0当Bi不发生

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