《概率论与数理统计》习题及答案 第一章

《概率论与数理统计》习题及答案

第 一 章

1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A?‘出现奇数点’；

（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A?‘两次点数之和为10’，B?‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；

（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A?‘球的最小号码为1’；

（4）将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，

A?‘甲盒中至少有一球’；

（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A?‘通过汽车不足5台’，

B?‘通过的汽车不少于3台’。

解 （1）S?{e1,e2,e3,e4,e5,e6}其中ei?‘出现i点’i?1,2,?,6， A?{e1,e3,e5}。

（2）S?{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； A?{(4,6),(5,5),(6,4)}； B?{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}。

（3）S?{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}

A?{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)} （4）S?{(ab,?,?),(?,ab,?),(?,?,ab),(a,b,?),(a,?,b),(b,a,?), (b,?,a),(?,a,b,),(?,b,a)}，其中‘?’表示空盒； A?{(ab,?,?),(a,b,?),(a,?,b),(b,a,?),(b,?,a)}。 （5）S?{0,1,2,?},A?{0,1,2,3,4},B?{3,4,?}。

2．设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：

·1·

（1）仅A发生；

（2）A,B,C中至少有两个发生； （3）A,B,C中不多于两个发生； （4）A,B,C中恰有两个发生； （5）A,B,C中至多有一个发生。 解 （1）ABC

（2）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC；

（3）A?B?C或ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC； （4）ABC?ABC?ABC；

（5）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC；

3．一个工人生产了三件产品，以Ai(i?1,2,3)表示第i件产品是正品，试用Ai表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。

解 （1）A1A2A3；（2）A1?A2?A3；（3）A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3；（4）A1A2?A1A3?A2A3。

4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A?‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 P(A)?P101044?126250?0.504

5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A?‘5只全是好的’，则 P(A)?C37C40355?0.662；

（2）设B?‘5只中有两只坏的’，则 P(B)?C3C37C5402?0.0354.

6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求 （1）3个球的最小号码为5的概率； （2）3个球的最大号码为5的概率. 解 （1）设A?‘最小号码为5’，则

·2·

2 P(A)?C5C310?112；

（2）设B?‘最大号码为5’，则 P(B)?C4C2310?120.

7．（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解 （1）设A?‘他们的生日都不相同’，则 P(A)?P3653651rr；

（2）设B?‘至少有两个人的生日在同一个月’，则 P(B)?或

P(B)?1?P(B)?1?P121244C4C12P11?C4C12?C4P12?C121242222321?4196；

?4196.

8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.

解 设A?‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则 P(A)?C7(2?2)7626?0.01107.

9．将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？

解1 设A?‘恰好排成SCIENCE’

将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：

字母C在7个位置中占两个位置，共有C7种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有C5种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为C7?C5?3!?1260，而A中的基本事件只有一个，故

P(A)?1C?C?3!27252222?11260；

解2 七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n1个，第二种元素

·3·

有n2个…，第k种元素有nk个(n1?n2???nk?n)，将这n个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为

n!n1!n2!?nk!，

对于本题有

P(A)?17!2!2!?47!?11260.

10．从0,1,2,?,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：A1?‘三个数字中不含0和5’，A2?‘三个数字中不含0或5’，A3?‘三个数字中含0但不含5’. 解 P(A1)? P(A2)?或

P(A2)?1?P(A2)?1? P(A3)?C8C2C8C33103?715C933.

?C83C93C10?C10C103?1415，

C8C1310?1415，

310?730.

11．将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A?‘每堆各成一双’的概率.

解 n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共‘每堆各成一双’共有n!种情况，故

P(A)?2?n!(2n)!n(2n)!2!2!?2!?(2n)!(2!)n

12．设事件A与B互不相容，P(A)?0.4,P(B)?0.3，求P(AB)与

P(A?B)

解 P(AB)?1?P(?AB)?1?P(A?)P(B?) 0.3 因为A,B不相容，所以A?B，于是 P(A?B)?P(A)?0.6

13．若P(AB)?P(AB)且P(A)?P，求P(B).

·4·

解 P(AB)?1?P(?A由P(AB)?P(AB)得

B)?1?P(A?)P(B?)P (AB) P(B)?1?P(A)?1?p

14．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q,r，求P(AB)及P(A?B) 解 P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?1?P(B)?P(A)?P(AB) ?1?q?p?q?r?1?p?r.

15．设P(A)?P(B)?0.7，且A,B仅发生一个的概率为0.5，求A,B都发生的概率。 解1 由题意有

0.5?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB) ?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) ?0.7?2P(AB)， 所以

P(AB)?0.1.

解2 A,B仅发生一个可表示为A?B?AB，故

0.5?P(A?B)?P(AB)?P(A)?P(B)?2P(AB), 所以

P(AB)?0.1.

16．设P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,P(B?A)?0.2，求P(AB)与P(AB).

A?B)?P(A?)P(AB?) 解 0.3?P(0?.7P，A( B所以

P(AB)?0.4， 故

P(AB)?0.6；

0.2?P(B)?P(AB)?P(B)?0.4. 所以

P(B)?0.6

P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?0.1 17．设AB?C，试证明P(A)?P(B)?P(C)?1 [证] 因为AB?C，所以

P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1

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