2011考研数学一真题试卷
一选择题
1．曲线y?(x?1)(x?2)2(x?3)2(x?4)2拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0）
nn2．设数列?an?单调递减，liman?0,Sn?n??无界，则幂级数?a(x?1)?a(n?1,2,?）kkk?1k?1n的收敛域
A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]
3．设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件
Af(0)?1,f??(0)?0 Bf(0)?1,f??(0)?0 Cf(0)?1,f??(0)?0 Df(0)?1,f??(0)?0
4．设I???40lnsinxdx,J??lncotxdx,K??lncosxdx则I、J、K的大小关系是
44??00A I 5．设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。记 ?100??100?????P1??111?,P2??001?,???000???010??则A= AP1P2 BP2P1 DP1P2 CP2P1 ?1?1**6．设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A是A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组Ax?0的一个基础解系，则Ax?0的基础解系可为 A?1,?3 B?1,?2 C?1,?2,?3 D?2,?3,?4 7．设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是 Af1(x)f2(x) B2f2(x)F2(x) Cf1(x)F2(x) Df1(x)F2(x)?f2(x)F1(x) 8．设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题 9．曲线y??tantdt(0?x?0x?4)的弧长s=____________ 10．微分方程y??y?e?xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11．设函数F(x,y)??xy0sint?2Fdt，则21?t2?xx?0 ?__________12．设L是柱面方程为x2?y2?1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 y2_ ?xzdx?xdy?2dz?__________2222213．若二次曲面的方程为x?3y?z?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y1?4z1?4，则a?__________ 14．设二维随机变量(X,Y)服从N(?,?;?2,?2;0)，则E(XY2)? 三解答题 1ln(1?x)ex?115．求极限lim() x?0x?2z16．设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求 ?x?y17．求方程karctanx?x?0不同实根的个数，其中k为参数。 18．证明：1）对任意正整数n，都有 x?1,y?1 111?ln(1?)? n?1nn2）设an?1?11????lnn(n?1,2,?),证明{an}收敛。 2n19．已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0, ??f(x,y)dxdy?a，其中 DD?{(x,y)0?x?1,0?y?1}，计算二重积分I???xy?xy(x,y)dxdy。 D?20．?1?(1,0,1)，?2?(0,1,1)，?3?(1,3,5)不能由?1?(1,a,1)，?2?(1,2,3)， TTTTT?3?(1,3,5)T线性表出，?求a；?将?1，?2，?3由?1，?2，?3线性表出。 ?11???11?????21．A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00? ??11??11?????（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A。 22. X P Y P -1 1/3 0 1/3 1 1/3 0 1/3 1 2/3 P(X2?Y2)?1 求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）?XY _23.设x1,x2,?xn为来自正态总体N(?0,?)的简单随机样本，其中?0已知，??0未知，x和S分别表示样本均值和样本方差。 ^222（1）求参数?的最大似然估计? （2）计算E(?)和D(?) 答案： CCABDDDB 1【答案】C【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由y??x?1??x?2??x?3??x?4?可知1,2,3,4分别是y??x?1??x?2?234222^2^2?x?3??x?4?34?0的一、二、 三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知y?(1)?0，y?(2)?y?(3)?y?(4)?0 y??(2)?0，y??(3)?y??(4)?0，y???(3)?0,y???(4)?0，故（3，0）是一拐点。 2【答案】C【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】Sn??ak?n?1,2???无界，说明幂级数?an?x?1?的收敛半径R?1； nn?k?1n?1an?an?单调减少，limn????0，说明级数?an??1?收敛，可知幂级数?an?x?1?的收敛半径R?1。 n?1n?1n?n?n因此，幂级数 ?an?x?1?的收敛半径R?1，收敛区间为?0,2?。又由于x?0时幂级数收敛，x?2时幂级数发散。 n?1可知收敛域为?0,2?。 3【答案】C【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。 【解析】由z?f(x)lnf(y)知zx??f?(x)lnf(y),zy??f(x)f?(x)f?(y)，zxy???f?(y) f(y)f(y)2???f(y)f(y)?(f(y))zxx???f??(x)lnf(y)，zyy???f(x) f2(y)所以zxy??x?0y?0?f?(0)f?(0)?0，zxx??f(0)x?0y?0?f??(0)lnf(0)， zyy??x?0y?0f??(0)f(0)?(f?(0))2?f(0)?f??(0) f2(0)要使得函数z?f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值，仅需 f??(0)lnf(0)?0，f??(0)lnf(0)?f??(0)?0 ，f??(0)?0 所以有f(0)?14【答案】B【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】x?(0,??4)时，0?sinx??2?cosx?cotx，因此lnsinx?lncosx?lncotx 2??4lnsinxdx?0?4lncosxdx?0?4lncotxdx，故选（B） 05【答案】D【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。 ?1?1?1?1【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知AP，，所以?BPB?EA?BP?PP?PP1212121，故选（D） 6【答案】D【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。 ??【解析】由?x?0的基础解系只有一个知r(A)?3，所以r(A)?1，又由AA?AE?0知，?1,?2,?3,?4都是 ??x?0的解，且??x?0的极大线生无关组就是其基础解系，又 ?1??1?????00A?????1,?2,?3,?4?????1??3?0，所以?1,?3线性相关，故?1，?2，?4或?2，?3，?4为极大无关组，故应?1??1?????0???0?选（D） 7【答案】D【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质：f1?x?F2?x??f2?x?F1?x??0； ?????。 f1?x?F2?x??f2?x?F1?x?dx?F1?x?F2?x????1。可知f1?x?F2?x??f2?x?F1?x?为概率密度，故选（D） ??8、【答案】B【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量UV进行处理，有一定的灵活性。 【解析】由于UV?max{X,Y}min{X,Y}?XY 可知E(UV)?E(max{X,Y}min{X,Y})?E(XY)?E(X)E(Y) 故应选（B） 9【答案】1?? 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。 4???【解析】s??40?y?'2dx??x?4tanxdx?20?404?1?secx?1dx?tanx?x02??4 10【答案】y?sinxe【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为 ?1dx1dxy?e?[e?xcosx?e?dx?C]?e?x[cosxdx?C]?e?x[sinx?C] ??由y(0)?0，得C?0，故所求解为y?sinxe?x 11【答案】4【考点分析】本题考查偏导数的计算。 2223?Fysinxy?2Fycosxy?1?xy??2xysinxy?2F【解析】。故2?,?222?x1?x2y2?2x?x?1?xy??4。 x?0y?212【答案】?【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。 ?x?cost?【解析】曲线L的参数方程为?y?sint，其中t从0到2?。因此 ?z?cost?sint? 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2011考研数学一真题及详解(打印版)在线全文阅读。
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