近似代数试题

关于群,环部分的研讨题

1. 设G为群，H是G的子集，H构成G的子群的条件是什么？

n2. （1）已知G是群，Hi≤G，（i=1,2 ,...,n）,则 i?1Hi 仍然是G

n的子群，但是，i?1Hi 未必是G的子群。为什么？ （2）设 H?G,K?G，若H的条件是什么？

3. 设G1, G2是群，在集合G1×G2 中定义乘法

K也是G的子群，那么所要满足

(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2)

则G1×G2 关于此乘法构成一个群称为群G1, G2 的直积, 仍记为 G1×G2 。显然(e1,e2)是G1×G2的单位元（这里e1,e2分别是G1, G2的单位元）；对?(a,b)? G1×G2 ，(a,b)?1?(a?1,b?1) . 若令

??{(e1,b)|b?G2}G1??{(a,e2)|a?G1),G2?,G2? 均为G1×G2 的正规子群且有同态 试证 G1

G1?G1?a?,以及 G1?G1?, G2?G2?G2?G2(e1,b)

(a,e2) 和 b4. 设Z??Z\\{0}，易知(Z?,?)不构成群。若用U(Z?)表示Z?的所有可逆元组成的集合，试问(U(Z?),?)是否构成群。

5. Mn(C)表示所有n阶复方阵，GLn(C)表示Mn(C)上所有n阶可逆复方阵（即?A?Mn(C),detA?0）的集合，则(GLn(C),?)构成一个群。若用SLn(C)表示GLn(C)中所有detA=1的n阶可逆复

方阵全体组成的集合，则(SLn(C),?)关于矩阵的乘法也构成一个群，并且SLn(C)?GLn(C).

问题：若令T表示GLn(C)中所有detA=2的n阶可逆复方阵全体组成

的集合，(T,?) 是否构成群？为什么？ 6. 试证 循环群G=(a)的子群是循环群. 7. 设M,N均为群G的正规子群，如果MN=1，则对任意

a?M,b?N 有 ab=ba.

8. 证明6阶非Abel群只有S3 .

9. 设G是群，N,M是G的子群,且N?M?G, (1) N?G (2) 如果N(2) 如果NG，则NM，MM。

G，N是否一定是G的正规子群？

10. 200阶群有正规的Sylow子群. 11. 设群G的元a1,a2,b1,b2满足

a1b1?a2b2?b1a1?b2a2, a1m?a2m?b1n?b2n?1,

其中m和n是互素的正整数.则 a?a,b?b.

121212.（华罗庚）设含幺环R中元a,b,1?ab 均为单位，则1?b?1和

(a?b?1)?1?a?1也是单位，且

((a?b?1)?1?a?1)?1?aba?a.

13. 环Z/3Z与环Z/6Z的子环2Z/6Z是否同构? 14.证明Z[[?2]是ED,从而是UFD.而Z[[?3]不是UFD.

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