第七章 微分方程的解 1 求曲线族x2?Cy2?1满足的微分方程，其中C为任意常数.
解 在等式x2?Cy2?1两端对x求导,得
2x?2Cyy??0.
2再从x2?Cy2?1解出C?1?x2y2,代入上式得 2x?2?1?xy2y?y??0,
化简即得到所求的微分方程 xy?(1?x2)y??0. 2验证函数y?(x2?C)sinx(C为任意常数)是方程 dydx?ycotx?2xsinx?0
的通解, 并求满足初始条件y|x???0的特解. 2解 .将函数求一阶导数,得 dydx?2xsinx?(x2?C)cosx,
把y和
dy代入方程左边得
dxdydx?ycotx?2xsinx?2xsinx?(x2?C)cosx?(x2?C)sinxcotx?2xsinx?0.
因方程两边恒等,且y中含有一个任意常数,故y?(x2?C)sinx是题设方程的通解. 2将初始条件yx???0代入通解y?(x2?C)sinx中，得0??.
24?C 即 C???24从而所求特解为 y????x2??2??sinx. ?4??可分离变量的微分方程 1 求微分方程
dydx?2xy的通解.
解 分离变量得dyy?2xdx两端积分得?dyy??2xdx ? ln|y|?x2?C1
从而y??ex2?CC21xC??e1,则得到题设方程的通解 y?Cex21??e?e,记C.
2 求微分方程dx?xydy?y2dx?ydy的通解. 解 先合并dx及dy的各项,得y(x?1)dy?(y2?1)dx 设y2?1?0,x?1?0,分离变量得 y?1y2dy?1x?1dx
两端积分?ydy?
1y2?1?12x?1dx得2ln|y?1|?ln|x?1|?ln|C1|
于是 y2?1??C21(x?1)2记C??C21,则得到题设方程的通解 y2?1?C(x?1)2.
1
注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定g(y)?0的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使g(y)?0的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C?0，但这样方程就失去特解y??1，而如果允许C?0，则y??1仍包含在通解
y2?1?C(x?1)2中.
. 齐次方程 1求解微分方程
dydx?yx?tanyx满足初始条件yx?1??6的特解.
解 题设方程为齐次方程,设u?ydyx,则
dx?u?xdudx, 代入原方程得u?xdudx?u?tanu,分离变量得cotudu?1xdx.
两边积分得ln|sinu|?ln|x|?ln|C| ? sinu?Cx, 将u?yyx回代，则得到题设方程的通解为sinx?Cx.
利用初始条件y|11x?1??/6,得到C?2.从而所求题设方程的特解为sinyx?2x.
2 求解微分方程 y2?x2dydx?xydydx.
?2?y?解 原方程变形为
dyy2dx???x??xy?x2y,（齐次方程） x?1du2令u?yx,则y?ux,dydx,故原方程变为u?xdududx?u?xdx?uu?1,即xdx?uu?1.
分离变量得??1?1??u??du?dxx.两边积分得u?ln|u|?C?ln|x|或ln|xu|?u?C. 回代u?yx,便得所给方程的通解为 ln|y|?yx?C.
一阶线性微分方程
1 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.
xlnxdy?(y?lnx)dx?0, yx?e?1.
解 将方程标准化为y??1xlnxy?1x,于是
?dxdxy?e?xlnx???1?xlnx??dx?C??lnlnx??xe??e????1xxelnlndx?C???1?12??lnx?lnx?C?.?2?
由初始条件y1?1?x?e?1,得C?2,故所求特解为y?lnx1?2??lnx?.? ＊2 求解方程
dydx?yd?dx??(x)d?dx, ?(x)是x的已知函数.
2
解 原方程实际上是标准的线性方程，其中P(x)?d??dx,Q(x)??(x)ddx,
直接代入通解公式，得通解
??d?d?dx?y?edxdx????(x)d?e?dxdx?C??e??(x)[?(x)e?(x)d??C]??(x)?1?Ce??(x).
??dx???伯努利方程 1 求
dy42dx?xy?xy的通解.
解 两端除以y,得
1dy?4ydxxy?x2,
2令z?y,得2dz?4z?x2,解得z?x2??x?2?C?,dxx
故所求通解为y?x4??x???2?C?.
??2（E03）求方程
dyydx?x?(alnx)y2的通解.
解 以y2除方程的两端,得
y?2dy1?11dx?xy?alnx,即 ?d(y?1)dx?xy?1?alnx,
令z?y?1,则上述方程变为
dz1dx?xz??alnx.
解此线性微分方程得 z?x?C?a(lnx)2???.
?2?以y?1代z,得所求通解为 yx?a??C?(lnx)2??1. ?2?全微分方程
1 (E01) 求方程(x3?3xy2)dx?(y3?3x2y)dy?0的通解. 解
?P?Q?y??6xy??x,原方程是全微分方程,
x(x,y)??(x3?3xy2yu)dx?3y40?ydy?x4?3x2y2?0424,
原方程的通解为
x434224?2xy?y4?C.
2 求解(5x4?3xy2?y3)dx?(3x2y?3xy2?y2)dy?0. 解 这里
?P2?y?6xy?3y??Q?x，所以题设方程是全微分方程.
可取x0?0,y0?0,由全微分求积公式得:
u(x,y)??x(5x4y?3xy2?y3)dx?y2dy0?0?x5?3232x2y?xy?13y3.
3
于是，方程的通解为 x5?2xy332xy?xy2223?13y?C.
33（E02）求方程解
?P?y6xy4dx?y2?3xy4dy?0的通解.
????Q?x1,原方程是全微分方程,
2?2x?3x?1???d????d将左端重新组合 2dy??dx?dy4?y??y3?yy????2?x2??1x????d????,
3??y3??yy????原方程的通解为?1y?xy23?C.
y???f(x)型
1 求方程xy(4)?y(3)?0的通解.
解 设y????P(x),代入题设方程,得xP??P?0(P?0), 解线性方程,得P?C1x(C1为任意常数)，即y????C1x, 两端积分,得y???12C1x?C2,y??2C16x?C2x?C3,
3再积分得到所求题设方程的通解为
y?C124x?4C22x?C3x?C4,其中Ci(i?1,2,3,4)为任意常数.
2
进一步通解可改写为y?d1x4?d2x2?d3x?d4.其中di(i?1,2,3,4)为任意常数.
y???f(x,y?)型
2 (E02) 求方程(1?x)2dydx22?2xdydx?0的通解.
dydx?p(x),解 这是一个不显含有未知函数y的方程.令
(1?x)2则
dydx22?dpdx,于是题设方程降阶为
dpdx?2px?0,即
dpp?2x1?x2dx.两边积分,得
2ln|p|?ln(1?x)?ln|C1|,3?x????C2. 再积分得原方程的通解 y?C1?x?3???即p?C1(1?x2)或
dydx?C1(1?x).2
3 求微分方程xy???2y??1满足y(1)?2y?(1), 且当x?0时，y有界的特解. 此法留给读者练习.
解法1 所给方程不显含y,属y???f(x,y?)型,令y??p,则y???p?,代入方程降阶后求解,
4
解法2 因为xy???2y??(xy??y)?,即y??y?x21xy?1?C2xC1x,这是一阶线性微分方程，解得
?C1?x2,
12x2因为x?0时，y有界,得C2?0,故y?又由已知条件y(1)?2y?(1),得C1?y???f(y,y?)型
12?C1,由此得y??及y(1)??12.
12?C1,
,从而所求特解为y?4（E03）求方程yy???y?2?0的通解. 解 设y??p(y),则y???pdpdydpdy,代入原方程得y?pdydxdpdy?p2?0,即p??y???dp??p??0. ?dy?由y??p?0,可得p?C1y,所以
?C1y, 原方程通解为 y?C2eCx.
15已知y1?xex?e2x,y2?xex?e?x,y3?xex?e2x?e?x是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：
（1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程；
（3）求此微分方程满足y(0)?7,y?(0)?6的特解.
解 (1) 由题设知, e2x?y3?y2,e?x?y1?y2是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且y1?xex?e2x,是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为
y?xex?e2x?C0e2x?C2e?x?xex?C1e2x?C2e?x，其中C1?1?C0.
(2) 因y?xex?C1e2x?C2e?x ① 所以y??ex?xex?2C1e2x?C2e?x②
y???2e?xexx?4C1e2x?C2e?x
从这两个式子中消去C1,C2,即所求方程为y???y??2y?ex?2xex; (3) 在①, ②代入初始条件y(0)?7,y?(0)?6,得
C1?C2?7,2C1?C2?1?6?C1?4,C2?3,
从而所求特解为 y?4e2x?3e?x?xex.
5
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