高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题22 数列综合

专题22 数列综合

【标题01】混淆了数列{an}和数列{a2n-1},{a2n}的“n” 【习题01】已知数列{an}满足a1?1，a2?1，且[3?(?1)n]an?2?2an?2[(?1)n?1]?0, 2n?N?.

（1）求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式；

（2）设bn?a2n?1?a2n(n?N?)，求数列{bn}的前n项和Sn. 【经典错解】（1）由已知得a3?3,a4?11,a5?5,a6?. 48当n为奇数时，an?2?an?2，所以数列的奇数项组成一个等差数列，

2n-2=1+(2n-2)2=2n-3=2n-1-2\\an=n-2 所以a2n-1=a1()12当n为偶数时，an?2?2n-2=所以a2n=a2()1an，所以数列的偶数项组成一个等比数列， 2112n-211()=()2n-1\\an=()n-1 222212ìn-2??因此，数列{an}的通项公式为an=í1n-1?）（??2（2）下略.

【详细正解】（1）由已知得a3?3,a4?n=2k-1k?N* n=2kk?N()(*)

11,a5?5,a6?. 48当n为奇数时，an?2?an?2，所以数列的奇数项a2n-1组成一个等差数列{a2n-1}， 令a2n-1=bn\\bn=b1+(n-1)2=a1+2n-2=2n-1\\a2n-1=2n-1\\an=n

122n-2=1+(2n-2)2=2n-3=2n-1-2\\an=n-2 所以a2n-1=a1()当n为偶数时，an?2?1an，所以数列的偶数项a2n组成一个等比数列{a2n}， 2n-1骣1a2n=bn\\bn=b1琪琪2桫=12骣1琪琪2桫n-1骣1=琪琪2桫n骣1\\a2n=琪琪2桫n骣1=琪琪2桫2n12骣1\\an=琪琪2桫n2

*ìnn=2k-1k?N ??n因此，数列{an}的通项公式为an=í 1*2?）n=2kk?N（??2(())（2）因为bn?a2n?1?a2n，则

111Sn?1??3?()2?5?()3?222

11?(2n?3)?()n?1?(2n?1)?()n ，

2211?(2n?3)?()n?(2n?1)?()n?1，

221111Sn?1?()2?3?()3?5?()4?2222两式错位相减得

11111Sn??2?()2?2?()3?2?()4?2222211?2?()n?(2n?1)?()n?1

22112[?()n?1]1131??42?(2n?1)?()n?1 ??(2n?3)()n?1

122221?21?Sn?3?(2n?3)()n

2

【习题01针对训练】定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列”．

（1）若项数为20项的“对偶数列”{an}，前4项为1,1,3,，求该数列的通项公式及20项的和；

21n?N）（2）设项数为2m（m?N）的“对偶数列”{an}前4项为1,1,3,，试求该数列前n （1?n?2m，

2??1项的和Sn；

（3）求证：等差数列{an}(an?0) 为“对偶数列”当且仅当数列{an}为非零常数数列．

【标题02】放缩不等式求和时没有分类讨论 【习题02】设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?1,

2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*. n33(1) 求a2的值；(2) 求数列?an?的通项公式；(3) 证明:对一切正整数n,有

11??a1a2?17?. an42Sn12?an?1?n2?n?，n?N?. n3312 ? 当n?1时，2a1?2S1?a2??1??a2?2 又a1?1，?a2?4

33【经典错解】(1) 解：

（2）解：

2Sn12?an?1?n2?n?，n?N?. n33n?n?1??n?2?12 ① ? 2Sn?nan?1?n3?n2?n?nan?1?333?当n?2时，2Sn?1??n?1?an??n?1?n?n?1? ②

3由① — ②，得 2Sn?2Sn?1?nan?1??n?1?an?n?n?1?

2an?2Sn?2Sn?1 ?2an?nan?1??n?1?an?n?n?1?

??an?1ana?a???1 ?数列?n?是以首项为1?1，公差为1的等差数列. n?1n1?n?an?1?1??n?1??n,?an?n2?n?2? n当n?1时，上式显然成立. ?an?n2,n?N* （3）证明：由（2）知，an?n2,n?N*

n2??n?1???n?1?,?11? n2?n?1???n?1??11??a1a2?111?2?2?an12?111?1???2n1?32?4?11?

?n?2??n?n?1???n?1?1?11?1?11?1?11??1?????????????2?13?2?24?2?35?1?111111?1????????2?132435?1?11?1?11????????? 2?n?2n?2?n?1n?1?1111????? n?2nn?1n?1?1?1111?71?11?7?1?????????????

2?12nn?1?42?nn?1?4?原不等式亦成立.

综上，对一切正整数n，有

11??a1a2?17?. an4【详细正解】（1）同上；（2）同上；

（3）证明：由（2）知，an?n2,n?N* ①当n?1时，

17?1?，?原不等式成立. a14②当n?2时,

1117??1??,?原不等式亦成立. a1a244③当n?3时,

n2??n?1???n?1?,?111???an122211? 2n?n?1???n?1??11?

?n?2??n?n?1???n?1??11??a1a2??111?1???n21?32?41?11?1?11?1?11??1?????????????2?13?2?24?2?35?1?11?1?11????????? 2?n?2n?2?n?1n?1?1?111111?1????????2?132435?1111????? n?2nn?1n?1?1?1111?71?11?7?1?????????????

2?12nn?1?42?nn?1?4?当n?3时,，?原不等式亦成立. 综上，对一切正整数n，有

11??a1a2?17?. an4

【习题02针对训练】已知数列（Ⅰ）求证：（Ⅲ）求证：

满足

，

，令

的前n项和为，求；

.

是等比数列； （Ⅱ）记数列

1111????22?3na1a2?111?. an16【标题03】对等比数列的判断方法没有理解透彻

【习题03】设数列?an?满足an?2an?1?n(n?2且n?N)，?an?的前n项和为Sn，数列?bn?满足

?bn?an?n?2．

（l）若a1?1，求S4;（2）试判断数列?bn?是否为等比数列？请说明理由；

（3）若a1??3，m,n,p?N?，且m?n?2p．试比较Sm?Sn与2Sp的大小，并证明你的结论． 【经典错解】（1）∵an?2an?1?n(n?2且n?N?)，且a1?1，

∴a2?2?1?2?4，a3?2?4?3?11，a4?2?11?4?26． ∴S4?42.

（2）∵bn?an?n?2，?bn?1?an?1+（n+1）+2=2an?(n?1)?(n?1)?2?2(an?n?2)?2bn． 所以数列?bn?是以a1?3为首项，2为公比的等比数列.

（3）Sm?Sn?2SP．事实上，由（2）知，当a1??3时，b1?0，则an??n?2． ∴?an?是以?3为首项，?1为公差的等差数列， ∴Sn??∵m,n,p?N，且m?n?2p， ∴Sm?Sn?2SP?p(p?5)??1n(n?5)． 21115m(m?5）?n(n?5）?[(2p)2?2m2?2n2]?(2p?m?n) 224211?[(m?n)2?2m2?2n2]??(m?n)2?0． ∴Sm?Sn?2SP. 44【详细正解】（1）同上；

（2）∵bn?an?n?2，?bn?1?an?1+（n+1）+2=2an?(n?1)?(n?1)?2?2(an?n?2)?2bn． 又∵b1?a1?3，∴当a1??3时，b1?0，此时?bn?不是等比数列， 当a1??3时，b1?0，则

bn?1?2(n?N?)． bn故当a1??3时，数列?bn?是以a1?3为首项，2为公比的等比数列.（3）同上

【深度剖析】（1）经典错解错在对等比数列的判断方法没有理解透彻.（2）要判断一个数列{an}是等比数列，需要证明

an+1=q(q刮0,nanN*)和a110，但是错解只证明了

an+1=q(q刮0,nanN*)，忽略了对

首项是否为零的讨论，所以是错的.所以今后要判断一个数列是等比数列，一般先求

an+1的值，如果不是同an一常数，数列{an}不是等比数列，如果

an+1=q(q刮0,nanN*)，然后求出它的首项，看它的首项是否为

零，如果首项不为零，就是一个等比数列，否则也不是.

【习题03针对训练】设数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?3n(n?N).

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