培优专题(第6讲 一元一次方程概念和等式性质)

第6讲 一元一次方程概念和等式性质

考点·方法·破译

1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析．

2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．

经典·考题·赏析

【例1】 下面式子是方程的是( )

A．x＋3 B． x＋y＜3 C．2x2 ＋3 ＝0 D．3＋4 ＝2＋5

【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C．

【变式题组】 01．在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－

1x＝x＋l，④2x ＋y＝3中方程的个数是( ) 3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作

1，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是( ) 311A． 272＋x＝ (196－x) B． (272－x) ＝196 –x

3311C．×272 ＋x ＝196－x D． (272 ＋x) ＝196－x

23人数的

03．根据下列条件列出方程：

⑴3与x的和的2倍是14 ⑵x的2倍与3的差是5 ⑶x的

【例2】下列方程是一元一次方程的是( ) A．x2－2x－3＝0 B．2x－3y＝4 C．

1与13的差的2倍等于1 51＝3 D．x＝0 x【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D．

【变式题组】 01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy；④x＝2；⑤3x ＝1；⑥

x?3＝4x；⑦（a＋b）xc＝ac＋bc；⑧ax＋b其中等式有___________个；一元一次方程有___________个． 02．（江油课改实验区）若（m－2）xm2?3＝5是一元一次方程，则m的值为( )

A．±2 B．－2 C．2 D．4 03．（天津）下列式子是方程的是( )

A．3×6＝ 18 B．3x－8 c．5y＋6 D．y÷5＝1

【例3】若x＝3是方程－kx＋x＋5 ＝0的解，则k的值是( ) A．8 B．3 C．?88 D． 33【解法指导】 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3 ＋5 ＝0，k＝ 【变式题组】 01．（海口）x＝2是下列哪个方程的解( )

A．3x＝2x－1 B．3x －2x＋2 ＝0 C．3x －1 ＝2x＋1 D．3x＝2x－2 02．（自贡）方程3x ＋6 ＝0的解的相反数是( )

A．2 B．－2 C．3 D．－3 03．（上海）如果x＝2是方程

8故选择D． 31x?a??1的根，那么a的值是( ) 2A．0 B．2 C．－2 D．－6 04．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：

(1)某数的3倍比这个数大4；

(2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？

(3)一个商店今年8月份出售A型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出售A型电机多少台？

【例4】 （太原）c为任意有理数，对于等式是( )

A．两边都减去－3c B．两边都乘以

1a＝2×0.25a进入下面的变形，其结果仍然是等式的21 cC．两边都除以2c D．左边乘以2右边加上c

【解法指导】等式的性质有两条：①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A．

【变式题组】 01．（青岛）如果ma＝ mb，那么下列等式不一定成立的是( )

A．ma＋1＝mb＋1 B．ma?3＝mb?3 C．?11ma＝?mb D．a＝b 2202．（大连）由等式3a ?5 ＝2a＋b得到a＝11的变形是( )

A．等式两边都除以3 B．等式两边都加上（2a －5） C．等式两边都加上5 D．等式两边都减去（2a －5） 03．（昆明）下列变形符合等式性质的是( )

A．如果2x?3 ＝7，那么2x ＝7?x B．如果3x?2＝x＋l，那么3x?x ＝1?2

C．如果－2x ＝5，那么x＝－5＋2 D．如果－【例5】 利用等式的性质解下列方程： ⑴x ＋7 ＝19 ⑵－5x ＝30 ⑶ －⑴解：两边都减去7得 x＋7 ?7 ＝19 ?7 合并同类项得 x＝12 ⑵解：两边都乘以?1x ＝1，那么x＝－3 31x?5 ＝4 31得x＝ －6 5⑶解：两边都加上5得－ 合并同类项得－

1x?5＋5 ＝4 ＋5 31x ＝9 3 两边都乘以－3得x＝－27

【解法指导】 要使方程x＋7 ＝19转化为x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式．

【变式题组】 01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是v1，回来的速度是v2，则他的平均速度为( )

A．

v1?v22v1v2v?v2vv B． C．1 D．12 2v1?v22v1v2v1?v2?x?102．（杭州）已知?是方程2x?ay＝3的一个解，那么a的值是( )

y??1?A．1 B．3 C．－3 D．－1

03．（郑州）下列变形正确的是( )

A．由x＋3＝4得x＝7 B．由a＋b＝0，得a＝b

C．由5x＝4x－2得x＝2 D．由04．（南京）解方程?A．同乘以?x＝0，得x＝0 623x? ( ) 322333 B．同除以 C．同乘以－ D．同除以 3222【例6】 根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个

月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）

【解法指导】 生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．

解：设他存入的本金是x元，则5个月的利息是2%×5x＝0.1x元，需交利息税0.lx×20%＝0.02x元，根据题意得：x ＋0. lx?0.02x＝ 1080． 【变式题组】 01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销售，则该商品

现在售价是( )

A．160元 B．128元 C．120元 D．8元 02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：

(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；

(2)长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积，

【例7】 （“希望杯”邀请赛试题）已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是l．求代数式40p ＋l0lq ＋4的值．

【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．

解：把x＝l代入方程px ＋5q ＝97，得p＋5q ＝97，故p与5q中必有一个数是偶数：

(1)若p＝2，则Sq＝ 95，q＝19，40p ＋l01q ＋4 ＝40×2 ＋101×19 ＋4＝ 2003；

(2)若5q为偶数，则q＝2，p＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p ＋l0lq ＋4的值

为2003.

【变式题组】 01．（广东省竞赛题）已知x＝3x ＋1，则（64x2 ＋48x ＋9）2009＝_______．

02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a、b、c、d，定义新运算：＝18，则x＝( )

A．－1 B．2 C．3 D．4

abcd＝ ad? bc，已知

2x?4x1演练巩固 反馈提高

01．下面四个式子是方程的是( )

A．3 ＋2 ＝5 B．x＝2 C．2x ?5 D．a2 ＋2ab≠b2 02，下列方程是一元一次方程的是( )

A．x2 ?2x?3＝0 B．2x?3y＝3 C．x2?x?1＝ x2＋1 D．

1?1?0 x03．“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是( )

A．

1111x ＝7?x B．x＋7 ＝?x C．＋7 ＝x D．＝x＋7 222204．（石家庄）把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为( ) A．5x ＋15＝ 1200 B．5x －15 ＝1200 C．4x ＋15＝ 1200 D．4（x＋15)＝1200 05．在方程①3x?4 ＝7；②

x＝3；③5x?2 ＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为x＝1的方程是( ) 2A．①② B．①③ C．②④ D．③④

06．如果方程2n＋b＝n?1的解是n＝－4，那么b的值是( )

A．3 B．5 C．－5 D．－13

07．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝ a2 ＋b则（－2）△x＝10中x为( )

A．－6 B．6 C．8 D．－8 08．（武汉）小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提前1分钟跑完

3000m，下列等式不正确的是( ) A．(a＋10)(b－1) ＝ab B．（a?10)(b＋l) ＝3000

C．

30003000＝a＋10 D．＝b?1 b?1a?1009．已知关于x的方程(m＋2)xm＋4 ＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．

10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x?2＝ 10 ＋x的解是_______． 11．（福州）已知

33m?1＝n，试用等式的性质比较m、n的大小． 44

12.（西宁）已知方程a?2x＝－4的解为x＝4，求式子a3?a2?a的值．

13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．

14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这两项都会的有

多少人？

15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机

到乙车队？

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01．下列判断中正确的是( )

A．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x同解，

B．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x没有相同的解． C．方程x(2x －3)＝x的解是方程2x －3 ＝1的解． D．方程2x ?3 ＝1的解是方程x(2x －3)＝x的解． 02．方程

xxx???????2009的解是( ) 1?22?32009?2010A．2008 B．2009 C．2010 D．2011

03．（江苏省竞赛题）已知a是任意有理数，在下面各题中

(1)方程ax ＝0的解是x＝l (2)方程ax ＝a的解是x＝l

(3)方程ax ＝1的解是x＝

1 (4)ax?a的解是x＝±1 a结论正确的的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3 04．（“希望杯”邀请赛）已知关于x的一元一次方程(3a ＋8b)x＋7 ＝0无解，则ab是( )

A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3?3 a2?5a ＋4有

整数解，则a的值共有( )

A．1个 B．3个 C．6个 D．9个 06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程x?5＋（x?5）＝0的解的个数为( )

A．不确定 B．无数个 C．2个 D．3个 07．若x＝9是方程

11 x?2?a的解，则a＝______；又若当a＝1时，则方程x?2?a的解是______．

3308．方程

x13y?2?2y??0的解是_____，方程3?x?1???1的解是_____．

53509．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知3990x?1995 ＝1995，那么x＝____． 10．（“希望杯”邀请赛试题）已知x?x?2，那么19x99 ＋3x＋27的值为____．

11．（广西竞赛）解关于x的方程

12．a为何值，方程

x?a?bx?b?cx?a?c??＝－3． cabax1x?a???x?6?有无数个解． 326

13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本；每人9本，则最后一人只得6本，

问小朋友共几人？有多少本书？ 14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k（是不

等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？

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