2014年高考数学(理)二轮热点专题突破讲练：第九讲 等差数列、等

第九讲 等差数列、等比数列

数列等差数列通项公式定义前n项和公式性质等比数列通项公式定义前n项和公式性质

1．(等比数列的前n项和)(2013·北京高考)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______；前n项和Sn＝________.

【解析】 设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n项和公式求Sn.

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则： 由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.① 由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.② 由①②解得q＝2，a1＝2.

a1?1－qn?2?1－2n?n＋1故Sn＝＝＝2－2.

1－q1－2【答案】 2 2n1－2

＋

2．(等差数列的性质)在等差数列{an}中，若a2，a2 014为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 008＋a2 015＝________.

【解析】 由题意知a2＋a2 014＝10，所以a1 008＝5. 所以a1＋a1 008＋a2 015＝3a1 008＝3×5＝15. 【答案】 15

3．(等比数列的性质)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝________.

【解析】 在等比数列{an}中，a3a7＝a25；a2a6＝a3a5，所以

2222

a23＋2a2a6＋a3a7＝a3＋2a3a5＋a5＝(a3＋a5)＝(22)＝8.

【答案】 8

2an＋114．(等差数列的通项公式)若数列{an}满足＝，且a1＝3，则an＝________ .

anan＋1

2an＋1111

【解析】 由＝，得－＝2，

anan＋1an＋1an11

∴数列{}是首项为，公差为2的等差数列．

an3115

∴＝＋(n－1)×2＝2n－， an333∴an＝.

6n－5【答案】

3 6n－5

5．(等差数列前n项和)已知正数组成的等差数列{an}，其前20项和为100，则a7·a14

的最大值是__________．

20?a1＋a20?【解析】 ∵S20＝＝100，

2

∴a1＋a20＝10. ∵an>0，

a7＋a142a1＋a202

∴a7·a14≤()＝()＝25，

22

当且仅当a7＝a14时取“＝”． 【答案】 25

等差、等比数列的基本运算 (1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，

Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )

A．3 B．4 C．5 D．6

(2)(2013·湖北高考)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125. ①求数列{an}的通项公式．

111

②是否存在正整数m，使得＋＋?＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，

a1a2am

说明理由．

【思路点拨】 (1)先求am，am＋1，再根据am，am＋1，Sm列方程组求m.

?1?

(2)①先求得a1和公比q，再求通项公式；②根据数列 ?a?仍然构成等比数列可求得数

?n?

?1?

列 ?a?的前m项和，进而作出判断． ?n?

【自主解答】 (1)∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0， ∴am＝Sm－Sm－1＝2.

∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， ∴d＝am＋1－am＝1.

m?a1＋am?m?a1＋2?

又Sm＝＝＝0，

22

∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5. 【答案】 C

33???a1＝3，?a1q＝125，

?(2)①设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得解得?2

?|a1q－a1q|＝10，??

5

?q＝3，

或

??a1＝－5，

? ??q＝－1.

5n－1－

故an＝·3，或an＝－5·(－1)n1.

3

5n－113?1?n－1

②若an＝·3，则＝·，

3an5?3??1?31

故数列 ?a?是首项为，公比为的等比数列．

53?n?

3??1?m?·1－m15??3??9??1?m?9

从而? ＝＝·1－<<1.

a110??3??10n＝1n

1－3

11－－

若an＝(－5)·(－1)n1，则＝－(－1)n1，

an5

?1?1

故数列?a?是首项为－，公比为－1的等比数列，

5?n?

1?m1m1?－5，m＝2k－1?k∈N＋?，

从而? ＝?故? <1. n＝1ann＝1an??0，m＝2k?k∈N＋?.

111

故不存在正整数m，使得＋＋?＋≥1成立．

a1a2am

1．本例(2)中，通项公式含(－1)n1，故需分n为奇数与偶数两种情况讨论．

－

2．涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．

3．在使用等比数列前n项和公式时，若公比q不能确定是否为1，应分q＝1和q≠1两种情况讨论．

变式训练1 (2013·潍坊模拟)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.

【解】 (1)因为{an}是一个等差数列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，所以a4＝28. 设数列{an}的公差为d，

则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)对m∈N*，若9m

－

－

故得bm＝92m1－9m1.

－

－

于是Sm＝b1＋b2＋b3＋?＋bm

＝(9＋93＋?＋92m1)－(1＋9＋?＋9m1)

－

－

9×?1－81m??1－9m?＝－ 1－811－9

92m1－10×9m＋1＝.

80

＋

等差、等比数列的性质 【命题要点】 ①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值.

(1)等差数列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，数列{an}

前9项的和为( )

A．297 B．144 C．99 D．66

a29

(2)(2013·三门峡模拟)在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为( )

a11A．9 B．1 C．2 D．3

【思路点拨】 (1)先求a4和a6，然后再根据a1＋a9＝a4＋a6求S9.

2

(2)先求a7，再利用a9＝a11·a7求解．

【自主解答】 (1)由a1＋a4＋a7＝39，得3a4＝39，a4＝13. 由a3＋a6＋a9＝27，得3a6＝27，a6＝9. 9?a1＋a9?9?a4＋a6?9×?13＋9?所以S9＝＝＝＝99.

222(2)由a3a5a7a9a11＝a57＝243得a7＝3， a2a11·a79

所以＝＝a7＝3.

a11a11【答案】 (1)C (2)D

2

1．本例(2)用a9＝a11a7求解，过程简单，当然也可以把a9、a11用a7、公比q表示出来，

求解．

2．等差、等比数列的性质

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