概率课后习题解答

习题一

3．设A,B,C表示三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件：

（1）A发生,B与C不发生; （2）A与B都发生,而C不发生; （3）A,B,C都发生; （4）A,B,C都不发生; （5）A,B,C中至少有一个发生; （6）A,B,C中恰有一个发生; （7）A,B,C中至少有两个发生; （8）A,B,C中最多有一个发生.

解：（1）ABC； （2）ABC； （3）ABC； （4）ABC；

（5）A?B?C； （6）ABC?ABC?ABC； （7）AB?AC?BC； （8）AB?AC?BC或AB?AC?BC．

6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：

（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.

解：设事件Ai表示“取出的3件产品中恰有i件废品”(i?0,1,2,3)，由概率的古典定义得

12C6C194（1）P(A1)??0.0855； 3C2003C194（2）P(A0)?3?0.9122；

C200213C6C194?C6（3）P(A2?A3)??0.0023． 3C2009．已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(BA)?0.8，求P(AB)和P(AB)．

解：P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4,

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]

?1?(0.5?0.6?0.4)?0.3.

1

10．已知P(B)?0.4,P(A?B)?0.6,求P(AB)．

解：P(AB)?P(AB)P(A?B)?P(B)0.6?0.41???.

1?P(B)1?0.43P(B)13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率．

解：设事件Ai表示“第i次取得次品”（i?1,2,3,4），则所求的概率为

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

?32761????. 1098720111,,,问能将密码译出的概53419．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是率是多少?

解：设事件A,B,C分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件A,B,C相互独立，且P(A)?111,P(B)?,P(C)?，则所求的概率为 5341113P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?(1?)(1?)(1?)?.

534520．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是

0.02,0.03,0.05和0.03.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.

解：设事件Ai表示“第i道工序加工出次品”(i?1,2,3,4)，显然事件A1,A2,A3,A4相互独立，且P(A1)?0.02,P(A2)?0.03,P(A3)?0.05,P(A4)?0.03，则所求的概率为

P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

?1?(1?0.02)(1?0.03)(1?0.05)(1?0.03)?0.124

22．设一系统由三个元件联结而成（如图1?4）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p(0?p?1).求系统能正常工作的概率.

1

2 图1?4

解：设事件Ai表示“第i个元件正常工作”(i?1,2,3)，事件B表示“该系统正常工

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作”，显然，事件A1,A2,A3相互独立，且P(Ai)?p，则所求的概率为

P(B)?P[(A1?A2)A3]?P(A1A3?A2A3)?P(A1A3)?P(A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A3)?P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?2p2?p3.

习题二

2.离散型随机变量X的概率函数为： （1）P(X?i)?a2i,i?1,2,（2）P(X?i)?2ai,i?1,2,分别求（1）、（2）中a的值．

,100; ,

2a(1?2100)1解：（1）?P(X?i)??a2?； ?1，解得a?1001?22(2?1)i?1i?1100100i（2）

?P(X?i)??2ai?i?1i?1100?12a?1，解得a?．

31?a3.对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为p，求射击次数的概率分布．

解：设随机变量X表示“击中目标时的射击次数”，显然，X可取1,2,?，故X的概率分布为：P(X?k)?p(1?p)k?1,k?1,2,?

4.一大楼装有5个同类型的供水设备．调查表明在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的．求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同一时刻：

（1）恰有2个设备被使用的概率； （2）至少有3个设备被使用的概率； （3）最多有3个设备被使用的概率； （4）至少有1个设备被使用的概率．

解：设随机变量X表示“在同一时刻被使用的设备数”，显然，X~B(n,p)，其中

n?5,p?0.1，故X的概率分布为

kP5(k)?P(X?k)?C5(0.1)k(0.9)5?k,k?0,1,2,?,5.

（1）恰有2个设备被使用的概率为

2P5(2)?C5(0.1)2(0.9)3?0.0729.

（2）至少有3个设备被使用的概率为

3

55?Pk5(k)??C5(0.1)k(0.9)5?k?0.0086.

k?3k?3（3）最多有3个设备被使用的概率为

?33P(kk5)?5(0.1)k(0.9)5?k?0.9995.

k?0?Ck?0（4）至少有1个设备被使用的概率为

?5P(k)?551?P5(0)?1?(0.9)?0.4095.

k?19.设随机变量X的概率密度为

??1ex2,x?0,? f(x)???1,0?x?2,

?4??0,x?2.?求X的分布函数．

解：随机变量X的分布函数为

?x?1F(x)??x??f(t)dt?????????12etdt?1，x?0;?2ex，x?0;0??2etdt??x104dt，0?x?2;???1?x，0?x?2;

?1?????2etdt??21，2?x.?240?1，2?x.04dt??10.设X的分布函数为

?0,x?0,F(x)???Ax2,0?x?1,

??1,x?1.求：（1）系数A；（2）X的概率密度；（3）概率P(0.5?X?0.8).

解：（1）由于F(x)是连续函数，有limx?1F(x)?F(1)?1，而

F(1?0)?limx?1?Ax2?A，F(1?0)?limx?1?1?1，故A?1； （2）X~f(x)?F?(x)???2x，0?x?1;?0，其它.

（3）P(0.5?X?0.8)?P(0.5?X?0.8)?F(0.8)?F(0.5)?0.39．

4

x?0,?0,?2?x13.随机变量X的分布函数为F(x)??,0?x?5, 求(1)X的概率密度；

?25x?5,??1,(2)P(3?X?6).

解：(1)对于连续型随机变量，有f(x)?F?(x)，所以

?2?x,0?x?5; f(x)??25?其它.?0,3216?(2) P(3?X?6)?P(3?X?6)?F(6)?F(3)?1?. 252514.某种电子元件的使用寿命X（单位：h）的概率密度为

?100,? f(x)??x2??0,求在150h内：

x?100,x?100.

（1）3个电子元件中没有1个损坏的概率； （2）3个电子元件中只有1个损坏的概率； （3）3个电子元件全损坏的概率.

解：设随机变量Y表示“在150h内，3个电子元件中损坏的元件数”，显然，Y~B(n,p)，

1001001501dx??|100?， ???100x2x3801023（1）3个电子元件中没有1个损坏的概率为：P3(0)?C3()()?；

3327411123?1（2）3个电子元件中只有1个损坏的概率为：P3(1)?C3()()?；

339131320（3）3个电子元件全损坏的概率为：P3(3)?C3()()?．

33271357,,,16.已知随机变量X只能取－1，0，2，3四个值，相应的概率依次为，2C4C8C16C其中n?3,p?P(X?150)?150f(x)dx??150确定常数C.

解 由

317537+++=1，得C=. 4C2C16C8C1616.一个袋内装有5个白球，3个红球．第一次从袋内任意取一个球，不放回，第二次又从袋

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