概率论与数理统计课后习题习题1答案(2)

解 P(A?B)?P(A)?P(B?)P(A?B)0.?61?.1P(A)P(B?|A)?1.1? 00?.4.

P(B?A)?P(B)?P(AB)?20．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率.

解 设A?“从乙袋中取出的是白球”，Bi?“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”i?0,1,2. 由全概率公式

P(A)?P(0B)P(A|0B?) ?C2C522P1(B)P(A|?B)122P(B)P( 2A|B)CC1C??322??3210C52C5411613??. 102521．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解 设A?“任取一产品，经检查是合格品”， B?“任取一产品确是合格品”， 则 A?BA?B A P(A)?P(B)P(A|?B)?0.9?8 ?0.96 |B)P(B)P(A0.?040?.05，0

所求概率为P(B|A)?P(B)P(A|B)P(A)?0.96?0.980.9428?0.998.

22．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率?；

（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率?. 解 设A?“顾客买下该箱”，

B?“箱中恰有i件残次品”，i?0,1,2，

（1）??P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2) ?0.8?0.1?C19C4204?0.1?C18C4204?0.94；

（2）??P(B0|A)?P(AB0)P(A)?0.80.94?0.85.

23．某大型商场所出售的一种商品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，它们的产品在该卖场所占

的份额依次为：60%，20%，10%，10%，且根据以往的检验记录知，它们的次品率分别为1%，2%，3%，2%. 现有一件商品因质量问题被退货，商场欲将该产品退给原厂家，或由其承担相关费用，但该产品的标识已脱落，从外观无法弄清生产厂家，请你通过计算分析，为该商场处理此事提出建议.

解 用Ai（i?1,2,3,4）分别表示产品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，设B?“产品被退货” 则P(A1)?0.60，P(A2)?0.20，P(A3)?0.10，P(A4)?0.10，P(BA1)?0.01，P(BA2)?0.02，P(BA3)?0.03，P(BA4)?0.02

(1)由全概率公式,

4P(B)??P(A)P(Bii?1Ai)?0.60?0.01?0.20?0.02?0.10?0.03?0.10?0.02?0.015

(2) 由贝叶斯公式,

P(A1B)?P(A1B)P(B)P(A2B)P(B)P(A3B)P(B)P(A4B)P(B)?P(A1)P(BA1)P(B)?0.60?0.010.015?615

P(A2B)??P(A2)P(BA2)P(B)P(A3)P(BA3)P(B)P(A4)P(BA4)P(B)?0.20?0.020.0150.10?0.030.0150.10?0.020.015?415315215

P(A3B)????

P(A4B)????

以上结果表明,这只产品来自甲工厂的可能性最大，尽管甲厂次品率最低，但甲厂所占的份额大，所以该产品出自甲厂的可能性最大.

处理办法：商场可以将该产品退回甲厂，也可按照比例6:4:3:2由四个厂家分摊相关费用. 24．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.

解 设A?“目标被击中”，Bi?“第i个人击中” i?1,2 ,所求概率为P(B1|A)?P(B1A)P(A)0.61?0.?4?P(B1)P(B1?B2)?0.75.

0.5?P(B1)1?P(B1B2)

?25．设P(A)?0,P(B)?0，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立. 证明 若A、B互不相容，则AB??，于是P(AB)?0?P(A)P(B)?0

所以A、B不相互独立.

若A、B相互独立，则P(AB)?P(A)P(B)?0，于是AB??，

即A、B不是互不相容的. 注：从上面的证明可得到如下结论：

1）若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的?P(A)?0或P(B)?0. 2）因A?BA?BA，所以P(A)?P(BA)?P(BA)

如果 P(B)?1，则P(BA)?0，从而P(AB)?P(A)?P(A)P(B) 可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.

如果P(B)?0，则P(AB)?0?P(A)P(B)，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立.

26．证明若三事件A,B,C相互独立，则A?B及A?B都与C独立. 证明 P{(A?B)C}?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?P(B)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?[P(A)?P(B)?P(AB)]P(C) ?P(A?B)P(C )即A?B与C独立. P{(A?B)C}?P(ABC?)P(A)P(B)P(?C) )P(A?B)P(PAC)B)P(C? 即 A?B与C相互独立.

27．某个公司招聘员工，指定三门考试课程，目前有两种考试方案： 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中任选两门，两门都及格为考试通过.

若某应聘者对三门指定课程及格的概率分别为a,b,c，且三门课程之间及格与否互不影响.（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （2） 哪种方案对应聘者更有利？为什么？

解 设Ai?“考生参加第i门考试且及格”，Bj?“第i个方案通过”，则

P(B1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?ab(1?c)?a(1?b)c?(1?a)bc? abc2 ?ab?bc?ca?P(B2)?13P(A1A2)?13a bc13P(A2A3)?13(ab?bc?ac)

P(A1A3)?由于 a,b,c?(0,1)，所以

P(B1)?P(B2)?23(ab?bc?ac)?2abc?23(ab(1?c)?bc(1?a)?ac(1?b))?0

因此方案一比方案二更容易通过.

28．图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.

4 5 1 2 L 3 R 解 设A?“L?R是通路”，Bi?“第i个接点闭合” i?1,2,3,4,5，则

B2? A?B1B4B?5P(4B5B?)BBB?135P(1B3B5?B)(PBBB)B?1235B4B 3B(P4B3B?)B2(PBB?B)B(2345PB)BB B12 P(A)?P(1B2B)?B2B4B)? ?P(B15B2BB4B)5? ?P(B13B2BB4B)5? ?P(B13(P1B3B4B)?5B((2P1B2B B)BB3(PBBBB)?B12345(PBBBB)?B212345P1B2B3B )BB?p23?p54?p2

5.p29．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率.

解 设该射手的命中率为p，由题意

8081?1?(1?p)，(1?p)?2344181，1?p?13

所以 p?.

30．设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率.

解 P4(1)?C4(0.01)(0.99)?0.0388. P4(2)?C4(0.01)(0.99)?0.000588.

31．设在伯努里试验中，成功的概率为p，求第n次试验时得到第r次成功的概率. 解 设A?“第n次试验时得到第r次成功”，则

A?“前n?1次试验，成功r?1次，第n次试验出现成功”， 所以P(A)?P（前n?1次试验，成功r?1次）P（第n次试验成功）

r?1r?1n?rr?1rn?r ?Cn?1p(1?p)?p?Cn?1p(1?p).

1322232．设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂.现该厂生产了n(n?2)台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）.求（1）全部能出厂的概率?；（2）其中恰有两台不能出厂的概率?；（3）其中至少有两台不能出厂的概率?.

解 设A?“任取一台可以出厂”，B?“可直接出厂”，C?“需进一步调试”.

则 A?BA?C，A

P(A)?P(B)P(A|B?)P(C)P(A?|C)?0.7?0.3?将n台仪器看作n重伯努里试验，成功的概率为p，于是 （1）??(0.94)n，

（2）??C2n(0.06)2(0.94)n?2，

（3）??1?(0.94)n?n?(0.06)?(0.94)n?1.

0.8? p

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