概率论与数理统计的习题集及答案(7)

Y?aX?b~N(0,1)，则下列成立的是（ ）

①a??5,b?5 ②a?5,b?5 ③a?1,b??1 ④a??1,b?1

5555X与S分别是样本均值和样本方差，12、设样本X1,X2,?,Xn来自正态总体N(?,?2)，

2

则下面结论不成立的是（ ）

①X与S相互独立 ②X与(n?1)S2相互独立

2③X与

1?2?(Xi?1ni?X)相互独立 ④X与

21?2?(Xi?1ni??)2相互独立

213、样本X1,X2,X3,X4,X5取自正态总体N(?,?2)，?已知，?未知。则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）

1 ① X ② X1?X2?2? ③ ④(X?X)?i?2i?1322

15?(Xi?15i?X)2

X与S分别是样本均值和样本方差，14、设样本X1,X2,?,Xn来自正态总体N(?,?2)，

则下面结论成立的是（ ）

n(X??)2~F(1,n?1) ① 2X2?X1~N(?,?) ② 2S2③

S2?2~?2(n?1) ④

X??n?1~t(n?1) S15、设样本X1,X2,?,Xn来自总体X，则下列估计量中不是总体均值?的无偏估计量的是（ ）。

①X ②X1?X2???Xn ③0.1?(6X1?4Xn) ④X1?X2?X3 16、假设样本X1,X2,?,Xn来自正态总体N(?,?)。总体数学期望?已知，则下列估计量中是总体方差?的无偏估计是（ ）

221n1n1n1n222①?(Xi?X)②(Xi?X)③(Xi??) ④(Xi??)2 ???ni?1n?1i?1n?1i?1n?1i?1 概率论与数理统计 第31页（共57页）

17、假设总体X的数学期望?的置信度是0.95，置信区间上下限分别为样本函数

b(X1,?Xn)与 a(X1,?,Xn)，则该区间的意义是（ ）

① P(a???b)?0.95 ② P(a?X?b)?0.95 ③ P(a?X?b)?0.95 ④ P(a?X???b)?0.95

18、假设总体X服从区间[0,?]上的均匀分布，样本X1,X2,?,Xn来自总体X。则未知参数? 的极大似然估计量??为（ ）② ① 2X ② max(X1,?,Xn) ③ min(X1,?,Xn) ④ 不存在

19、在假设检验中，记H0为原假设，则犯第一类错误的概率是（ ） ① H0成立而接受H0 ② H0成立而拒绝H0 ③ H0不成立而接受H0 ④ H0不成立而拒绝H0 20、假设样本X1,X2,?,Xn来自正态总体N(?,?)，X为样本均值，记

21n1n22(Xi?X)2 S??(Xi?X)S2??ni?1n?1i?1211n1n22(Xi??)2 S??(Xi??)S4??n?1i?1ni?123则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是（ ） ①

X??X??X??X??n?1 ②n?1 ③ n ④ n S1S2S3S4三、计算题

1、设总体X~N(12,4)，抽取容量为5的样本，求 （1） 样本均值大于13的概率； （2） 样本的最小值小于10的概率； （3） 样本最大值大于15的概率。

概率论与数理统计 第32页（共57页）

2、假设总体X~N(10,22)，X1,X2,?,X8是来自X的一个样本，X是样本均值，求

P(X?11)。

3、总体X~N(10,22)，X1,X2,?,X8是来自X的样本，X是样本均值，若

P(X?c)?0.05，试确定c的值。

4、设X1,X2,?,Xn来自正态总体N(10,22)，X是样本均值， 满足P(9.02?X?10.98)?0.95，试确定样本容量n的大小。

5、假设总体X服从正态总体N(20,32)，样本X1,X2,?,X25来自总体X,计算

25?16?P??Xi??Xi?182?

i?17?i?1?6、假设新生儿体重X~N(?,?2)，现测得10名新生儿的体重，得数据如下： 3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260 （1）求参数?和?的矩估计； （2）求参数?的一个无偏估计。

22?e?(x??)x??7、设随机变量X的概率密度函数为f(x)?? ，设X1,X2,?,Xn来自

x???0总体X的一个样本，求?的矩估计和极大似然估计。

8、在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以0.95的置信度使平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量的样本容量n最小应取多少

9、设随机变量X~N(?,1)，x1,x2,?,x10是来自X的10个观察值，要在??0.01的水平下检验 H0：??0，H1：??0 取拒绝域J??|X|?c （1）c??

（2）若已知x?1,是否可以据此推断??0成立？ (??0.05)

（3）如果以J??|X|?1.15检验H0：??0的拒绝域，试求该检验的检验水平?。

概率论与数理统计 第33页（共57页）

????10、假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X（单位mm）服从正态分布N(5.2,0.16)，现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度x?5.4，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为5.2mm

11、某地九月份气温X~N(?,?2)，观察九天，得x?30C，s?0.9C，求 （1）此地九月份平均气温的置信区间； （置信度95%）

（2）能否据此样本认为该地区九月份平均气温为31.5C（检验水平??0.05) （3）从（1）与（2）可以得到什么结论？ t0.025(8)?2.306

12、正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为 54 68 65 77 70 64 69 72 62 71，假设人的脉搏次数X~N(?,?2)，试就检验水平

000??0.05下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？

13、设随机变量Xi~N(?i,?i2),?i,?i2均未知，X1与X2相互独立。现有5个X1的观

2察值，样本均值x1?19，样本方差为s1有4个X2的观察值，样本均值x2?18， ?7.505，2样本方差为s2?2.593，

（1）检验X1与X2的方差是否相等？??0.1,F0.05(4,3)?9.12,F0.05(3,4)?6.59 （3） 在（1）的基础上检验X1与X2的均值是否相等。 （ ??0.1）

14、假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布N(10600,822)，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，样本方差s?6992。当显著水平为

2??0.05时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？

15、某种导线的电阻X~N(?,0.005)，现从新生产的一批导线中抽取9根， 得s?0.009?。

（1）对于??0.05，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？ （2）求总体方差?的95%的置信区间

16、某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量X~N(?,?)，某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5 (单位：千克) 试

概率论与数理统计 第34页（共57页）

222求总体均值?的置信区间，给定置信水平为0.95。

17、设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，Y表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，

2210人服用甲药，10人服用乙药，经计算得x?2.33,s1?1.9;y?1.75,s2?2.9，设

X~N(?1,?2),Y~N(?2,?2)；求?1??2的置信度为95%的置信区间。

18、研究由机器A和B生产的钢管的内径，随机地抽取机器A生产的管子18根，测得样

22本方差s1?0.34，抽取机器B生产的管子13根，测得样本方差s2?0.29，设两样本独2立，且由机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布N(?1,?12),N(?2,?2)，试求总体

?12方差比2的置信度为90%的置信区间。

?219、设某种材料的强度X~N(?,?2)，?,?2未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm为强度单位，由20件样本得样本方差s?0.0912，求?和?的置信度为90%的置信区间。 20、设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率p的置信度为95%的置信区间。

21、一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，总体方差约为1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在总体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的样本？

22、设电视机的首次故障时间X服从指数分布，??EX，试导出?的极大似然估计量和矩估计。

23、为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）相应的样本均值和方差为：x1?22.2,x2?28.5;s1?16.63,s2?18.92。假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求总体平均值差的置信度为95%的区间估计。

24、某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。

25、电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为样

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