江苏省南通2010届高三第三次模拟考试 数学

南通市2010届高三第三次调研测试

数学 必做题部分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 有一容量为10的样本：2，4，7，6，5，9，7，10，3，8，则数据落在?5.5,7.5?内的

频率为 ▲ .

2. 已知直线l，m，n，平面?，m??，n??，则“l??”是“l?m,且l?n”的 ▲

条件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一） {}3，，且3. 已知集合A??2，7，?4m?(m?2)i，B?8?（其中i为虚数单位，m?R）

AIB??，则m的值为 ▲ .

4. 在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2?2ax?b2?0有实数根的概率为

▲ .

x≥0，?tanx，5. 若函数f(x)??则f2f3π4?log2(?x)，x?0，????? ▲ .

6. 在区间??a，a?(a?0)内不间断的偶函数f(x)满足f(0)?f(a)?0，且f(x)在区间?0，a?上是单调函数，则函数y?f(x)在区间(?a，a)内零点的个数是 ▲ . 7. 执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ▲ . 8. 不等式x?2?1的解集是 ▲ .

x9. 如图，点A、B在函数y?tanπx?π的图象上,则直线AB的方程为 ▲ .

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S<15 N 输出n （第9题）

开始 ??n?6 S?0 n?n?1 y 1 O A S?S?n Bx Y 结束 （第7题）

2y2x10. 双曲线??1上的点P到点(5, 0)的距离是6，则点P的坐标是 ▲ . 16911. 已知数列?an?为等差数列，若

a5??1，则数列?an?的最小项是第 ▲ 项. a6uuruuurAC?412. 在菱形ABCD中，若,则CA?AB? ▲ .

13. 已知点P在直线x?2y?1?0上,点Q在直线x?2y?3?0上，PQ的中点为M(x0,y0),

且y0?x0?2,则

y0的取值范围是____▲____. x01(n?14. 数列?an?满足：a1?2，a，，23，4?，??)若数列?an?有一个形如n?1?an?1an?Asin(?n??)?B的通项公式，其中A、B、?、?均为实数，且

A?0，??0，??π，则an? ▲ .（只要写出一个通项公式即可）

2

【填空题答案】

1．0.3 2．充分不必要 3．－2 4．1

25．1 6．2 7．3 8．?xx??2或0?x?1? 9．x?y?2?0 10．(8，?33) 11．6

12．－8 14．3sin2πn?π?1

332 13．

，?1? ??125??

二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）

sinA?3cosA共线，其中A是△ABC的内角． 已知向量m?sinA，1与n?3，2????（1）求角A的大小；

（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状. 【解】（1）因为m//n,所以sinA?(sinA?3cosA)?3?0. ?????????2分

2

所以1?cos2A?3sin2A?3?0，即3sin2A?1cos2A?1， ????3分

22222即 sin2A?π?1. ???????????????????4分

6??11π. ?????????????5分 因为A?(0,π) , 所以2A?π??π，666故2A?π?π，A?π. ????????????7分 623（2）由余弦定理，得 4?b2?c2?bc. ??????????????8分 又S?ABC?1bcsinA?3bc， ??????????????9分

24 而b2?c2≥2bc?bc?4≥2bc?bc≤4，（当且仅当b?c时等号成立） ????11分

所以S?ABC?1bcsinA?3bc≤3?4?3. ?????????12分 244当△ABC的面积取最大值时，b?c.又A?π，故此时△ABC为等边三角形.?14分

3D 16. （本题满分14分）

如图，已知四边形ABCD为矩形，AD?平面ABE，AE=EB=BC=2, F为CE上的点，且BF?平面ACE. （1）求证：AE//平面BDF； （2）求三棱锥D－ACE的体积. 【证明】 （1）设

ACIBD?G??C

GO F B

E

A ，连结GF.

（第16题）

因为BF?面ACE,CE?面ACE，所以BF?CE.

因为BE?BC,所以F为EC的中点. ???????????3分 在矩形ABCD中，G为AC中点，所以GF//AE. ??????5分 因为AE?面BFD,GF?面BFD，所以AE//面BFD. ??????7分 （2）取AB中点O，连结OE.因为AE?EB,所以OE?AB. 因为AD?面ABE,OE?面ABE,所以OE?AD,

所以OE?面ADC. ?????????????????9分 因为BF?面ACE,AE?面ACE，所以BF?AE. 因为CB?面ABE,AE?面ABE,所以AE?BC. 又

BFIBC?B，所以AE?平面BCE. ???????????11分

又BE?面BCE,所以AE?EB.所以

AB?AE2?BE2?22,OE?1AB?2.????12分

2故三棱锥E?ADC的体积为

VD?AEC?VE?ADC?1S?ADC?OE?1?1?2?22?2?4. ???????14分

332317 . （本题满分15分）

田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a，b，c，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A，a，B，b，C，c. 两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜. （1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；

（2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马. 那么，

田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？ 【解】记A与a比赛为（A，a），其它同理． （l）（方法1）齐王与田忌赛马，有如下6种情况：

（A，a）,（B，b）,（C，c）；（A，a）,（B，c）,（C，b）； （A，b）,（B，c）,（C，a）；（A，b）,（B，a）,（C，c）；

（A，c）,（B，a）,（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）. ?????2分 其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）. ????????4分 故田忌获胜的概率为P?1. ?????????????7分

6（方法2）齐王与田忌赛马对局有6种可能： A B C a b c a c b b a c b c a c a b

c b a ???????????????????????2分 其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）. ??????4分 若齐王出马顺序还有ACB , BAC , BCA，CAB，CBA等五种；每种田忌有一种可以获胜． 故田忌获胜的概率为P?6?1． ??????????????7分

6?66（2）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c．??9分

后两场有两种情形：

①若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）,（C，b）或（B，b）,（C，a）． 田忌获胜的概率为1. ????????????????????11分

2②若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：（C，a）,（B，b）或（C，b）,（B，a）． 田忌获胜的概率也为1． ????????????????????13分

2所以，田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大1?14

2分

答：（l）田忌获胜的概率1．

6（2）田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为1??15分

2

18. （本题满分15分） 在平面直角坐标系

xOy

中，已知对于任意实数k，直线

?3k?1x???k?3??y?3k?3?0恒过定点F. 设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，

?且椭圆C上的点到F的最大距离为2?3. （1）求椭圆C的方程；

（2）设（m，n）是椭圆C上的任意一点，圆O：x2?y2?r2(r?0)与椭圆C有4个相

异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置关系. 【解】 （1）分

??3x?y?3?0,解?得F??x?3y?3?0,?3k?1x?k?3y?3k?3?0???????3x?y?3k?x?3y?3?0, ?1

????3，0. ??????????????3分

?设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，

??c?3，则由题设，知? 于是a=2，b2=1. ????????????5分

??a?c?2?3..所以椭圆C的方程为x?y2?1. ????????????????6分

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