概率论与数理统计期末复习题1-3

概率与数理统计期末复习题一

一、

填空题

x?1?13?e,x?0f(x)??3?X?0, x?0.E(X?e)? 。 ?，则数学期

1．设随机变量X的概率密度为

2．设随机变量X，Y相互独立，且服从正态分布N（-1，1），则Z=2X-Y的概率密度 。

373．进行三次独立试验，在每次试验中事件A出现的概率相等，已知A至少出现一次的概率等于64中出现的概率P(A)= .

，则事件A在一次试验

4.设X,Y是随机变量,D(X)=9,D(Y)=16,相关系数

?XY?12,则D(X+Y)= .

12,P{X?2}? .

5. 口袋中装有2个白球,3个红球,从中随机地一次取出3个球，则取出的3个球中至多有2个红球的概率为 .

P{X?0}?6. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且

二、已知随机变量X的概率密度为

?2x, 0?x?1f(x)???0, 其他.求Y= 3lnX的分布函数.

三、玻璃杯成箱出售,每箱装有10只玻璃杯.假设各箱含0只,1只和2只次品的概率分别为0.9,0.06,0.04.一顾客要买一箱玻璃杯,售货员随意取出一箱,顾客开箱随机取出3只,若这3只都不是次品,则买下该箱杯子,否则退回.求(1)该顾客买下该箱玻璃杯的概率;(2)在顾客已买下的一箱中,确实没有次品的概率.

四、 设随机变量(X,Y)的概率密度为求 ( 1)边缘密度

?1?, 0?x?1,0?y?6?6xf(x,y)??3??0, 其他,

fX(x),fY(y); (2)协方差cov(X,Y),并问X 与Y 是否不相关?

2N(?,0.6),问样本容量n为多少,才能使样本均值与总体均值的差的五、 已知一批产品的某一数量指标X服从正态分布

绝对值小于0.1的概率达到0.95. [

Φ(0.975)?1.96，Φ(0.95)?1.6456，Φ(0.90)?1.29]。

六、 使用归工艺生产的机械零件,从中抽查25个,测量其直径,计算得直径的样本方差为6.27.现改用新工艺生产, 从中抽查25个零件,测量其直径,计算得直径的样本方差为4.40. 设两种工艺条件下生产的零件直径都服从正态分布,问新工艺生产的零件直径的方差是否比旧工艺生产的零件直径的方差显著地小(??0.05)?

七、设总体X的的概率密度为其中?2???1??1?x,0?x?1f(x;?)????1?其它?0,

?1,是未知参数,(x1,x2,?,xn)是总体X的样本观察值.

求(1) ?的矩估计量;

(2) ?的极大似然估计量?L,并问?L是?的无偏估计吗?

??八、设随机向量(X,Y)的概率密度为

?8xy,f(x;y)???0,y?x?1,0?y?1其它

求 (1)条件概率密度

fX(x|y);

概率与数理统计期末复习题二

(2) Z=X+Y的概率密度.;

一、 一、选择题

1.设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为

X 1 2 Y 1 2 1/3 2/3 1/3 2/3 则下列命题正确的是 。

(A)P(X=Y)=1/3 (B)P(X=Y)=2/3 (C)P(X=Y)=1 (D)P(X=Y)=5/9.

2．设P(AB)=0,则下列命题正确的是 . (A)A与B不相容 (B)A与B独立 (C)P(A)=0或P(B)=0 (D)P(A-B)=P(A). 3.在假设检验中,记H1为备择检验,称 为犯第一类错误.

(A) H1为真,接受H1 (B) H1不真,接受H1 (C) H1为真,拒绝H1 (D) H1不真,拒绝H1.

二、 二、填空题

1．设两两相互独立的三事件A，B，C满足ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知P(AUBUC)=12/25.则P(A)= . f(x)?2. 随机变量X的概率密度为

1?xe,???x??.2则X的分布函数F(x)= .

3．设随机变量X与Y均服从正态分布N(-1,1),且相互独立，则Z=X-2Y的概率密度 。

4. 设X1,X2,…,X6为来自正态总体N(0,1)的简单随机样本,而Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,试确定常数c= 使得随机变量cY服从?2分布.

1nX??Xini?15. 设X1,X2,…,Xn为n个相互独立同分布的随机变量,且E(Xi)=?,D(Xi)=8(i=1,2,….,n),对于

估计P{?-4<

,用切比雪夫不等式

X

6. 设X1,X2,…,Xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本,其中参数?,?>0未知,则?的置信水平为1-?(0

三、某种产品,每一批中都有2/3的合格品.验收每批产品时规定:从中任取一个,若为合格品,则放回,然后再任取一个,如果仍为合格品,则接受这批产品;否则,拒绝接收该批产品.求: (1)每批产品被拒绝接收的概率;

(2) 检验三批产品,最多有一批被拒绝接收的概率.

四、 两台同样的自动记录仪,每台正常工作的时间服从参数为?=1/3的指数分布。首先开动其中的一台，当其发生故障时停用，而另一台自动开动。试求两台记录仪正常工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差。

五、设总体X服从参数为?的泊松分布，?>0未知，X1,X2,…,Xn为来自总体X的一个样本观察值。求?的极大似然估计量λ?，并求其方差D(λ)。

?六、设的联合概率密度为:

?10?x?2,y?x?, f(x,y)??4? 其他?0,

(1)边缘概率密度fX(x), fY(y)和条件概率密度fY(y|x);

(2)证明X与Y不相关,但X与Y不独立. 七、有两个相互独立工作的电子装置,其寿命

Xk(k?1,2,?)服从同一指数分布,分布函数为

?1?e?λx，x?0F(x)???0, 其它

(1) 若将这两个电子装置串联成整机,求整机的寿命的分布函数和数学期望; (2)若将这两个电子装置并联成整机,求整机的寿命的分布函数和数学期望.

八、某种织物的强力指标的均值为?=21(kg).改进工艺后生产一批织物,今抽取25件,测得x指标服从正态分布.问在显著水平?=0.01条件下,新生产织物比过去的织物的强力是否要高?

附表:

?21.55(kg),S?1.2(kg).强力

u0.01?2.58,u0.025?1.96,t0.05(25)?1.708,t0.05(24)?1.711,t0.025(24)?2.064,t0.01(25)?2.485,t0.01(24)?2.492.

概率与数理统计期末复习题三

三、 填空题

1．设A与B是相互独立的随机事件，满足P(A)=0.3, P(A?2. 随机变量X~

B)=0.7 ,则P(B)= . N(1,4),随机变量Y服从参数θ?2的指数分布, 其概率密度为

?1?1y?e2 , y?0fY(y)??2?0 , y?0 ?而且X与Y的相关系数为

?XY?12, 则cov(X,Y)= .

, x??2?0 ?2?F(x)?? , ?2?x?35?, 3?x??1 3．设离散型随机变量X的分布函数为

则随机变量X的分布律为 。

T?4. 设随机变量X~XYn，则T2N(0,1), 随机变量Y~?(n), 且X与Y是相互独立,令

2~ 分布.

的矩估

5.设总体X服从参数为λ的泊松分布, 计量?= . 二 、选择题

??0为未知参数。(X1,X2,?,Xn)是总体X中抽取的一个样本，则参数λ

?1． 在某大学任意选出一名学生。令：A={选出的学生是男生}，B={选出的学生是三年级学生}，C={选出的学生是数学系的学生}，

则当 时，ABC=C成立。

（A）数学系的学生都是三年级的男生 （B）三年级的学生都是数学系的男生 （C）该学校的男生都是数学系三年级的学生 （D）三年级的男生都是数学系的学生

2． 设袋中有a只黑球，b只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为（ ）

b22（A）(a?b)b(b?1)b?1b（B）(a?b)(a?b?1)（C）a?b?1（D）a?b

P{X?k}?c?kk!(k?1,2,?)

3．设离散型随机变量X的分布律为其中??0为常数，则c=（ ）

1?λ（A）e （B）e （C）

λe?λ1?1 （D）eλ?1

4． 设随机变量X1,X2,?,X9相互独立的且同分布，而且EXi?1,DXi?1(i?1,2,?9),令

意给定的?X??Xii?19，则对任

?0，由切比雪夫不等式直接可得（ ）

P{X?1??}?1?（A）

1?29P{X?9??}?1? （B）

1?2

P{X?9??}?1?（C）5．设总体X~211P{X?1??}?1??2?2 （D）9

N(0,?2),(X1,X2,?,Xn)是从中抽取的一个简单随机样本，则?2的无偏估计量为（ ）

n11n22?????Xi2?X??ini?1n?1i?1（A） （B） 1n2???Xi?n?1i?1（C）

2n???(n?1)2（D）

2?Xi?1n2i

三 设有两箱同种类零件,第一箱装有50件,其中10件为一等品;第二箱装有30件,其中18件为一等品,今从两箱中随意取出一箱,然从该箱取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样.求: (1) 第一次取出的零件为一等品的概率;

(2) 在第一次取出的零件为一等品的条件下,第二次取出的也是一等品的概率.

四.甲，乙两人进行比赛,规定若某人先赢得4令X表示所需比赛的局数,求:

1局比赛的胜利得整场比赛的胜利. 设在每局比赛中,甲，乙两人获胜的概率都是2,

(1) X的可能取值; （2）X的分布律; （3）E(X). 五.向平面区域D布.

(1) 试求二维随机变量(X,Y)的联合密度函数; (2) 点(X,Y)到

?{(x,y):0?y?4?x2,x?0}内随机地投掷一点,即二维随机变量(X,Y)服从平面区域

D上的均匀分

y轴距离的概率密度函数;

(3) 设(X,Y)?D,过点(X,Y)作y轴的平行线,设S为此平行线与

E(S).

六.设随机变量X与Y的分布律分别为

x轴、y轴以及曲线y?4?x2所围成的曲边梯形的面积,求

X 0 1

Y 0 1

p 1-p1 p1 p 1-p2 p2

其中0?p1?1,0?p2?1,证明:如果X与Y不相关,则X与Y相互独立.

七.假设一条自动生产线生产的产品的合格率为0.8,试用中心极限定理计算,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件? (已知?(1.29)?0.9015,Φ(1.65)?0.95,其中?(x)是正态分布N(0,1)的分布函数)

八.设总体X服从区间(0,?)上的均匀分布,其中?(1)求未知参数?的极大似然估计? (2)求?的概率密度函数;

(3)判断?是否为未知参数?的无偏估计.

?0为未知参数. (X1,X2,?,Xn)是从该总体中抽取的一个样本.

???九.某厂在所生产的汽车蓄电池的说明书上写明：使用寿命的标准差不超过0.9年,现随机地抽取了10只蓄电池, 测得样本的标准差为1.2年,假定使用寿命服从正态分布N(?,?2),取显著性水平??0.05,试检验

H0:?2?0.81:H1:?2?0.81

概率论与数理统计期末复习题四

一. 单项选择题

1.现有5个灯泡的寿命?i. (i的方差D??1,2,3,4,5)独立同分布,且E?i?a D?i?b (i?1,2,3,4,5).则5个灯泡的平均寿命??( )

(A) 5b (B) b (C) 0.2b (D) 0.04b 2.

D??0是P{??C}?1(C是常数)的( )

(A) 充分条件,但不是必要条件 (B) 必要条件,但不是充分条件 (C) 充分条件又是必要条件 (D) 既非充要条件又非必要条件 3. 离散型随机变量?的概率分布为P(? (A) (C)

?k)?b?k(k?1,2,?)的充分必要条件是( )

b?0且0???1 (B) b?1??且0???1

b?1??1且??1 (D) ??1且b?0 1?b二．填空题

1．某柜台有4个服务员,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时每人需用台秤的概率为为 .

14,则4人中最多1人需用台秤的概率

2. 从1,2,…,10共十个数字中任取一个,然后放回,先后取出5个数字,则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 3. 设A , B是两个相互独立的随机事件,且P(A)?11 P(B)? 则P(A?B)? 43

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