湖北省黄冈中学2011-2012学年高一上学期期中考试数学试题

黄冈中学高一（上）期中考试数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．若集合M???1,0,1?，集合N??0,1,2?，则M?N等于（ ）

A．?0,1? B．??1,0,1? C．?0,1,2? D．??1,0,1,2? 2．下列图象中表示函数图象的是（ ）

8．若函数f(x)?x2lga?2x?1的图像与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是（ ）

0?a?10A．1?a?10B．0?a?1 D．0?a?1或1?a?10C．

29．下列四个命题：(1) 函数f(x)?1既是奇函数又是偶函数；(2)若函数f(x)?ax?bx?2与x 轴没有交点，则b?8a?0且a?0；(3) 函数f(x)在(0,??)上是增函数，在(??,0)上也是增函数，所以函数f(x)在定义域上是增函数；(4) 若x?R且x?0，则

2 y y y y 0 0 x x 0 x 0 x A B C D ?3．若函数f(x)???(1)x4,?1?x?0, 则f(log43)= （ ）

??4x,0?x?1,A．

13B．3C．1 D．4 44．已知函数f(x)?3x?3

x(x?0)，则函数（ ）

A．是奇函数，且在(0,??)上是减函数 B．是偶函数，且在(0,??)上是减函数C．是奇函数，且在(0,??)上是增函数 D．是偶函数，且在(0,??)上是增函数5．已知集合M?{y|y??2x?2,xR?，}集合N??y|y?2x,0?x??2,则(eRM)?N?（ ）

A．?1,2?B．?2,4?C． D．

?1,2? ?2,4?

0.36．已知a???1??2?2??，b?0.3，c?log12，则a,b,c的大小关系是（ ）

2A．a?b?c B．a?c?b C．c?b?a D．b?a?c 7．函数f(x)?x3?(1)x2的零点个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

log22x?2log2x． 其中正确命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3 10．对实数a和b，定义运算“?”：a?b???a,a?b?1,?b,a?b?1． 设函数

f(x)?(x2?2)?(x?x2)，x?R，若函数y?f(x)?c的图像与x轴恰有两个公共

点，则实数c的取值范围是（ ） A．(??,?2]?(?1,32)

B．(??,?2]?(?1,?34)

C．(?1,1)?(144,??) D．(?1,?3)?[144,??)

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．m，n?R，集合P???m?n,1???，Q??n,0?，若P?Q，则m?n的值等于_______． 12．函数y?3x?1的定义域是 ．

13．函数y?log21(x?x?6)的单调递增区间是 ．

2214．计算(22)3?(6112364)?lne?3?3?3=_______．

15．已知函数f(n)?logn?1(n?2)(n?Ν*，定义：使)f(1)?f(2)?????f(k为整数的数) k(k?N*)叫作企盼数，则在区间?1,10?内这样的企盼数共有 个．

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）设A??xx2?3x?2?0?,B??xx2?ax?2?0?，B?A．

（1）写出集合A的所有子集； （2）若B非空，求a的值．

17．（本小题满分12分）已知函数y?logax在(0,??)上是减函数，求函数

f(x)?x2?2ax?在3????2,1?2??上的最大值与最小值．

18．（本小题满分12分）已知函数f(x)?lg(1?2x)，F(x)?f(x)?f(?x)．

（1）求函数F(x)的定义域；

（2）当0?x?12时，总有F(x)?m成立，求m的取值范围．

19．（本小题满分12分）已知函数f(x)?2a?13x?1（a?R）． （1）若函数f(x)为奇函数，求a的值； （2）判断函数f(x)在R上的单调性，并证明．

源学科20．（本小题满分13分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0．125万元和0．5万元（如图）． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收

益，其最大收益是多少万元？

y y ０.１２５ ０.５ ０ １ x

０ １ x

21．（本小题满分14分）已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①xf(x1)f(x2)?11、x2、x1?x2是定义域中的数时，有f(x1?x2)?f(x?f(x；

2)1)②f(a)??1(a?0,a是定义域中的一个数）； ③当0?x?2a时，f(x)?0．

[来源学科网ZXXK]

（1）判断f(x1?x2)与f(x2?x1)之间的关系，并推断函数f(x)的奇偶性；

（2）判断函数f(x)在(0,2a)上的单调性，并证明； （3）当函数f(x)的定义域为(?4a,0)?(0,4a)时，

[来源:Zxxk.Com]

①求f(2a)的值；②求不等式f(x?4)?0的解集．

湖北省黄冈中学2011-2012学年高一上学期期中考试

数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合M???1,0,1?，集合N??0,1,2?，则M?N等于（ ）

A．?0,1? B．??1,0,1? C．?0,1,2? D．??1,0,1,2? 【答案】D

2．下列图象中表示函数图象的是（ ）

y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x A B C D 【答案】C

【解析】A、B、D都是一对多，只有C是多对一．

?3．若函数f(x)???(1x4),?1?x?0, 则f(log43)= （ ） ??4x,0?x?1,A．

13B．3C．1 D．4 4

【答案】B

【解析】?0?log，?f(loglog43?143)?443?3．

4．已知函数f(x)?3x?3

x(x?0)，则函数（ ）

A．是奇函数，且在(0,??)上是减函数 B．是偶函数，且在(0,??)上是减函数 C．是奇函数，且在(0,??)上是增函数 D．是偶函数，且在(0,??)上是增函数 【答案】C

【解析】由f(?x)??f(x)可知函数f(x)是奇函数，又y?3x在(0,??)上是增函数，

y?

3

x

在(0,??)上是减函数，由增函数—减函数=增函数可知f(x)在(0,??)上是增函数． 5．已知集合M?{y|y??x2?2,x?R}，集合N??y|y?2x,0?x?2?,则(eRM)?N?（ ） A．?1,2?B．C．? D．

?2,4?

?1,2? ?2,4?

【答案】B

【解析】由题可知M????,2?，N??1,4?，eRM?(2,??)，(eRM)?N??2,4?．

0.36．已知a???1??2??，b?0.3?2，c?log12，则a,b,c的大小关系是（ ）

2A．a?b?c B．a?c?b C．c?b?a D．b?a?c

【答案】D

【解析】?0?a?1,b?1,c?0，?b?a?c． 7．函数f(x)?x3?(1)x2的零点个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】B

【解析】作出y?x3与y?(1)x2的图像，两个函数的图像只有一个交点，所以函数只有一个

零点．

8．若函数f(x)?x2lga?2x?1的图像与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是（ ）

A．0?a?10B．1?a?10C．

0?a?1 D．0?a?1或1?a?10【答案】D

【解析】lga?0且??4?4lga?0，解得0?a?1或1?a?10．

9．下列四个命题：(1) 函数f(x)?1既是奇函数又是偶函数；(2)若函数f(x)?ax2?bx?2与x轴没有交点，则b2?8a?0且a?0；(3) 函数f(x)在(0,??)上是增函数，在(??,0)上也是增

函数，所以函数f(x)在定义域上是增函数；(4) 若x?R且x?0，则log22x?2log2x． 其

中正确命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】(1) f(x)?1是偶函数；(2)若函数f(x)?ax2?bx?2与

x轴没有交点，则只需

b2?8a?0；(3) f(x)在(??,0)和(0,??)上是增函数；(4)只有当x?0时才有

log22x?2log2x．

10．对实数a和b，定义运算“?”：a?b???a,a?b?1,?b,a?b?1． 设函数

f(x)?(x2?2)?(x?x2)，x?R，若函数y?f(x)?c的图像与x轴恰有两个公共点，

则实数c的取值范围是（ ）

A．(??,?2]?(?1,32)

B．(??,?2]?(?1,?34)

C．(?1,1)?(144,??) D．(?1,?3)?[144,??)

【答案】B ?【

解

析

】

由

题

意

可

f(x)???x2知

：

?2,x2?2?(x?x2)?1,即

??x?x2,x2?2?(x?x2)?1,?x2?2,?1?x?3,f(x)????2 做出函数f(x)的图像，由图像可知?x?x23B正确．

??，x??1或x?2．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．m，n?R，集合P???m?n,1???，Q??n,0?，若P?Q，则m?n的值等于_______． 【答案】1[来源学#科#网]

【解析】?m?0,n?1，?m?n?1． 12．函数y?3x?1的定义域是 ． 【答案】?0,???

【解析】由3x?1?30可得： x?0．

13．函数y?log1(x2?x?6)的单调递增区间是 ．

2【答案】(??,?2)

【解析】要使得函数是增函数，则必须有：x2?x?6?0且x?12，解得x??2． 214．计算(22)3?(6114)2?lne?3?33?63=_______．

【答案】3

15．已知函数f(n)?logn?1(n?2)(n?Ν*，定义：使)f(1)?f(2)?????f(k为整数的数)k(k?N*)叫作企盼数，则在区间?1,10?内这样的企盼数共有 个．

【答案】2

【解析】依题意有：f(1)?f(2)?f(3)???f(k)?log2(k?2)，令log2k(?2)?n，则k?2n?2，由k??1,10?得1?2n?2?10，所以3?2n?12，?n?N*?n?2,3，故所

求的企盼数共有2个．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）设A??xx2?3x?2?0?,B??xx2?ax?2?0?，B?A．

（1）写出集合A的所有子集；

（2）若B非空，求a的值．

16．解：（1）由题可知：A??1,2?，所以集合A的所有子集是：?,?1?,?2?,?1,2?； （2）因为B非空，①当集合B中只有一个元素时，由a2?8?0可知a??22，此时

B??2?或??2?，不符合题意；②当集合B中有两个元素时，A?B，所以有a?3；

综上可知：a?3．

17．（本小题满分12分）已知函数y?logax在(0,??)上是减函数，求函数

f(x)?x2?2ax?在3????2,1?2??上的最大值与最小值． 17．解：由题意可知0?a?1，函数f(x)的对称轴为x?a． 当0?a?12时，f(x)(?2)?7?4a，f(x)2max?fmin?f(a)=3?a； 当11132?a?1时，f(x)max?f(?2)?7?4a，f(x)min?f(2)?4?a． 18．（本小题满分12分）已知函数f(x)?lg(1?2x)，F(x)?f(x)?f(?x)．

（1）求函数F(x)的定义域； （2）当0?x?12时，总有F(x)?m成立，求m的取值范围．[来源学科网 ]18．解：（1）由题意可知：F(x)?lg(1?2x)?lg(1?2x)，?1?2x?0且1?2x?0，即?11?11?2?x?2，所以函数F(x)的定义域是???2,2??； （2）由题意可知F(x)?lg1?2x1?2x，设u(x)?1?2x1?2x，则有 u(x)??1?21?2x； 当0?x?12时有：0?2x?1，即?1??2x?0，则有0?1?2x?1，则

11?2x?1，故而

21?2x?2，?1?21?2x?1；?u(x)min?1，F(x)min?lg1?0； 又由题意可得：m?F(x)min，?m?0． 19．（本小题满分12分）已知函数f(x)?2a?13x?1（a?R）． （1）若函数f(x)为奇函数，求a的值；

（2）判断函数f(x)在R上的单调性，并证明．

19．解：（1）?函数f(x)为奇函数，?f(?x)?f(x)?0，即：

(2a?113x13?x?1)?(2a?3x?1)?0，则有：4a?3?x?3x?1?3x?3x?1?0， 即：4a?3x?13x?1?0，?4a?1?0，a?14； （2）任取x1,x2?R，且x1?x2，则f(x1)?f(x2)?(2a?13x1?1)?(2a?13x2?1) ?13?1?13x1?3x2x23x?1?(3x．11?1)(3x2?1)?y?3x在R上是增函数，且x1?x2， ?3x1?3x2，即：3x1?3x2?0．又3x?0，?3x1?1?0,3x2?1?0，?f(x1)?f(x2)?0，

即：f(x1)?f(x2)，故f(x)在R上是增函数．

20．（本小题满分13分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健

型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0．125万元和0．5万元（如图）． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？ y y ０.１２５ ０.５ ０ １ x ０ １

x 20．解：（1）设f(x)?k1x，g(x)?k2x， 所以 f(1)?18?k，g(1)?112?k2， 即f(x)?18x(x?0)，g(x)?12x(x?0)； （2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为(20?x)万元， 依题意得：y?f(x)?g(20?x)?x8?1220?x(0?x?20)， 令t?20?x(0?t?25)，则y?20?t28?t2??18(t?2)2?3， 所以当t?2，即x?16万元时，收益最大，ymax?3万元．

21．（本小题满分14分）已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

f(x1)f(x2)?1①x1、x2、x1?x2是定义域中的数时，有f(x1?x2)?；

f(x2)?f(x1)②f(a)??1(a?0,a是定义域中的一个数）； ③当0?x?2a时，f(x)?0．

（1）判断f(x1?x2)与f(x2?x1)之间的关系，并推断函数f(x)的奇偶性； （2）判断函数f(x)在(0,2a)上的单调性，并证明； （3）当函数f(x)的定义域为(?4a,0)?(0,4a)时，

①求f(2a)的值；②求不等式f(x?4)?0的解集． 21．解：（1）不妨令x?x1?x2，则f(?x)?f(x2?x1)?0?x?4?2a?4a① 或 ?4a?x?4??2a?0②，

由①得：4?x?2a?4；由②得：4?4a?x?4?2a；

所以不等式的解集是?4?4a,4?2a???4,2a?4?．

f(x2)f(xf(x)f2(x)?11)?1 ??1f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)??f(x1?x2)??f(x)，?f(x)是奇函数；

（2）在?0,2a?上任取两个实数x1、x2，且x1?x2，则有f(x1)?f(x2)?f(x2)f(x1)?1，

f(x2?x1)?0?x?2a时，f(x)?0，?f(x2)?0且f(x1)?0，

故f(x2)f(x1)?0，即f(x2)f(x1)?1?0；

?0?x1?2a，0?x2?2a且x1?x2，?0?x2?x1?2a，即有f(x2?x1)?0；?f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，?f(x)在(0,2a)上是增函数；

（

3

）

由

题

意

可

得

：

f(a)f(?a)?11?f(a2)f(2a)???0f(?a)?f(a)?2f(a)，

?f(x?4)?0?f(2a)?f(?2a)，易证函数f(x)在(2a,4a)上也是增函数， ?f(x)在(0,4a)上是增函数；于是有

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