第2讲 模块一 相似三角形6大证明技巧
相似三角形证明方法
相似三角形的判定方法总结：
1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS）
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.
示意图 AECDBBAODC结论 反A型： 如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，则△ADE∽AC=AD·AB. △ACB（AA），∴AE·BE，若连CD、进而能证明△ACD∽△ABE(SAS) 反X型： 如图，已知角∠BAO=∠CDO，则△AOB∽△DOCOC=OD·OB. 若连AD，BC，进而能（AA），∴OA·证明△AOD∽△BOC. “类射影”与射影模型 示意图 ADCB结论 类射影： 如图，已知△ABC，∠ABD=∠C，则△ABD∽AC. △ACB（AA），∴AB2=AD·C 射影定理 如图，已知∠ACB=90°，CH⊥AB于H，则AC2?AH?AB,BC2?BH?BA,HC2?HA?HB A HB13
13
“旋转相似”与“一线三等角”
示意图 AEBDCE结论 旋转相似： 如图，已知△ABC∽△ADE，则ABAD? ，ACAE∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD∽△CAE（SAS） D一线三等角： 如图，已知∠A=∠C=∠DBE，则△DAB∽△BCE（AA） ABC巩固练习 反A型与反X型
已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）AE?AB?AF?AC（2）∠BEO=∠CFO， ∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB
AEOFC
B类射影
如图，已知AB2?AC?AD，求证：
BDAB? BCACADCB
射影定理
已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：AC2?AH?AB，BC2?BH?BA，HC2?HA?HB
模块二 比例式的证明方法
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 技巧一：三点定型
【例1】 如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证：
DCCF．
?AEADDFABEC
【例2】 如图，△ABC中，?BAC?90?，M为BC的中点，DM?BC交CA的延长线于
D，交AB于E．求证：AM2?MD?ME
DAEBMC
【例3】 如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，?ABC的平分线BE交AC于E，
交AD于F．求证：
BFAB?． BEBCAE
BFDC
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15
技巧二：等线段代换
悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例4】 如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于
F，求证：FD2?FB?FC
AEBF
DC
【例5】 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，
?ECA??D．求证：AC?BE?CE?AD．
DFC
EAB
【例6】 如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：
AB2?BE?CD
A
BDEC
【例7】 如图，△ABC中，AB?AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，
延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2?PE?PF．
AEPBDCF
技巧三：等比代换
【例8】 如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O，E、交CD的延长线
于F，求证：OB2?OE?OF．
FAOBCED
【例9】 如图，在△ABC中，已知?A?90?时，AD?BC于D，E为直角边AC的中点，
过D、E作直线交AB的延长线于F．求证：AB?AF?AC?DF．
AEBDC
F
【例10】 如图，在△ABC中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使
AD?AE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：BP?CE?CP?BD
ADBECP
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