勾股定理的证明方法及简单应用--毕业论文

勾股定理的证明方法及简单应用--毕业论文

【标题】勾股定理的证明方法及简单应用【作者】 孙官勇 【关键词】勾股定理 建筑 航海 【指导老师】冯彬 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 约2000年前我国古代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾较长的边叫做股斜边叫做弦。勾三股四弦五”的意思是在直角三角形中如果勾为3股为4那么弦为5.这里32 42 52。们还发现勾为6股为8弦一定为10。为5股为12弦一定为13等.也有62 82 10252 122 13?6?7即勾2股2弦2。所以我国称它为勾股定理. 据文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后?欣喜若狂?杀牛百头?以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。 勾股定理的证明是几何学中的明珠?所以它充满魅力?千百年来?人们对它的证明趋之若骛?其中有著名的数学家?也有业余数学爱好者?有普通的老百姓?也有尊贵的政要权贵?甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单?更容易吸引人?才使它成百次地反复被人炒作?反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑?其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此?有资料表明?关于勾股定理的证明方法已有500余种?仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。 勾股定理的应用也是非常的早在更早期的人类活动中?人们就已经认识到这一定理的某

些特例。据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书?据专家们考证?其中一块上面刻有如下问题?“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上?当其上端滑下6个单位时?请问其下端离开墙角有多远?”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子?专家们还发现?在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表?表中共刻有四列十五行数字?这是一个勾股数表?最右边一列为从1到15的序号?而左边三列则分别是股、勾、弦的数值?一共记载着15组勾股数。这说明?勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。中国古代大禹在治水的时候也就也就总结出这个原理. 2已知成果的概述 2.1 国内对勾股定理的证明 赵爽的这个证明可谓别具匠心极富创新意识.他用几何图形的截割拼补来证明代数式之间的恒 等关系既具严密性又具直观性为中国古代以形证数形数统一代数和几何紧密结合互不可分的 独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展. 【证法1】赵爽证明? 以a、b 为直角边ba?? 以c为斜边作四个全等的直角三角形?则每个直角三角形的面积等于 .. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE ∴ ∠HDA ∠EAB. ∵ ∠HAD ∠HDA 90o? ∴ ∠EAB ∠HAD 90o? ∴ ABCD是一个边长为c的正方形?它的面积等于c2. ∵ EF FG GH HE b―a ∠HEF 90o.

∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形?它的面积等于 . ∴ . ∴ . 【证法2】邹元治证明? 以a、b 为直角边?以c为斜边做四个全等的直角三角形?则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状?使A、E、B三点在一条直线上?B、F、C三点在一条直线上?C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF ∴ ∠AHE ∠BEF. ∵ ∠AEH ∠AHE 90o ∴ ∠AEH ∠BEF 90o. ∴ ∠HEF 180o―90o 90o. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE ∴ ∠HGD ∠EHA. ∵ ∠HGD ∠GHD 90o ∴ ∠EHA ∠GHD 90o. 又∵ ∠GHE 90o ∴ ∠DHA 90o 90o 180o. ∴ ABCD是一个边长为a b的正方形?它的面积等于 ∴ ∴ . 【证法3】刘徽证明? 刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法?只是具体的分合移补略有不同?刘徽的证明原也有一幅图?可惜图已失传?只留下一段文字?“勾自乘为朱方?股自乘为青方?令出入相补?各从其类?因就其余不动也?合成弦方之幂?开方除之?即弦也?”后人根据这段文字补了一张图见下图? 只要把图中朱方a2?的I移至I′?青方的II移至II′?III移至III′?则刚好拼好一个以弦为边长的正方形c2 ?? 由此便可证得?a2b2c2 【证法4】杨作玫证明? 做两个全等的直角三角形?设它们的两条直角边长分别为a、bba??斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过

A作AF⊥AC?AF交GT于F?AF交DT于R. 过B作BP⊥AF?垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直?垂足为E?DE交AF于H. ∵ ∠BAD 90o?∠PAC 90o? ∴ ∠DAH ∠BAC. ∵ ∠DHA 90o?∠BCA 90o? AD AB c? ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH BC a?AH AC b. 由作法可知? PBCA 是一个矩形? ∴ RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB CA b?AP a?从而PH b―a. ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH DG a?∠GDT ∠HDA . ∵ ∠DGT 90o?∠DHF 90o? ∠GDH ∠GDT ∠TDH ∠HDA ∠TDH 90o? ∴ DGFH是一个边长为a的正方形. ∴ GF FH a . TF⊥AF?TF GT―GF b―a . ∴ TFPB是一个直角梯形?上底TFb―a?下底BP b?高FPa b―a?. 用数字表示面积的编号如图??则以c为边长的正方形的面积为 ① ∵ ? ? ∴ ② 把②代入①?得 . ∴ . 【证法5】李锐证明? 设直角三角形两直角边的长分别为a、bba??斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形?把它们拼成如图所示形状?使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号如图?. ∵ ∠TBE ∠ABH 90o? ∴ ∠TBH ∠ABE. 又∵ ∠BTH ∠BEA 90o? BT BE b? ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT AE a. ∴ GH GT―HT b―a. 又∵ ∠GHF ∠BHT 90o? ∠DBC ∠BHT ∠TBH ∠BHT 90o? ∴ ∠GHF ∠DBC. ∵ DB EB―ED b―a? ∠HGF ∠BDC 90o? ∴ RtΔHGF ≌

RtΔBDC. 即 . 过Q作QM⊥AG?垂足是M. 由∠BAQ ∠BEA 90o? 可知 ∠ABE ∠QAM?而AB AQ c? 所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 . 由RtΔABE ≌ RtΔQAM?又得QM AE a?∠AQM ∠BAE. ∵ ∠AQM ∠FQM 90o?∠BAE ∠CAR 90o?∠AQM ∠BAE? ∴ ∠FQM ∠CAR. 又∵ ∠QMF ∠ARC 90o?QM AR a? ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 . ∵ ? ? ? 又∵ ? ? ? ∴ ? 即 . 【证法6】陈杰证明? 设直角三角形两直角边的长分别为a、bba??斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形ba??把它们拼如图所示形状?使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号如图?.在EH b上截取ED a?连结DA、DC? 则 AD c. ∵ EM EH HM b a ED a? ∴ DM EM―ED -a b. 又∵ ∠CMD 90o?CM a? ∠AED 90o? AE b? ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD ∠MDC?DC AD c. ∵ ∠ADE ∠ADC ∠MDC 180o? ∠ADE ∠MDC ∠ADE ∠EAD 90o? ∴ ∠ADC 90o. ∴ 作AB‖DC?CB‖DA?则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵ ∠BAF ∠FAD ∠DAE ∠FAD 90o? ∴ ∠BAF∠DAE. 连结FB?在ΔABF和ΔADE中? ∵ AB AD c?AE AF b?∠BAF∠DAE? ∴ ΔABF ≌ ΔADE. ∴ ∠AFB ∠AED 90o?BF DE a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中? ∵ AB BC c?BF CG a? ∴ RtΔABF ≌

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