优化方案数学必修2(人教A版)第一章1.2.3应用案巩固提升

[A 基础达标]

1．(2016·合肥检测)下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是( ) A．用斜二测画法画出的空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形 B．几何体的直观图的长、宽、高与原几何体的长、宽、高的比例相同 C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D．水平放置的圆的直观图是椭圆 答案：B 2．(2016·威海检测)如图所示的图形的直观图所表示的平面图形是( )

A．正三角形 C．钝角三角形 答案：D

3．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′等于( )

A．45° B．135° C．90° D．45°或135°

解析：选D.因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°，故选D.

4．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )

A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm

解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D.

5. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )

B．锐角三角形 D．直角三角形

12A.＋ 22

C．1＋2 2 2

D．2＋2 B．1＋

解析：选D.因为A′D′∥B′C′，所以AD∥BC. 因为∠A′B′C′＝45°，所以∠ABC＝90°.

所以AB⊥BC.所以四边形ABCD是直角梯形，如图所示． 其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋2，AB＝2， 即S梯形ABCD＝2＋2.

6．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为________．

解析：因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，且AB＝BC，所以原四边形ABCD为正方形．

答案：正方形

7. 如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．

解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.

答案：10

8．如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

解析：在直观图中四边形A′B′C′O′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边

2

形，所以顶点B′到x′轴的距离为.

2

2

答案：

2

9．如图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

解：由几何体的三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为2的圆锥．画法： (1)画轴：如图①所示，画x，y，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画圆锥的底面：在平面xOy上画底面半径为1的圆的水平放置的直观图． (3)画圆锥的顶点：在Oz轴上截取OP＝2.

(4)成图：连接PA，PB，擦去辅助线和字母，得圆锥的直观图，如图②所示．

10. 如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．

解：法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，

121232

O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.

24248

1

法二：梯形ABCD的面积S＝(DC＋AB)×OD

2

13＝(1＋2)×1＝. 22

所以梯形ABCD直观图的面积为

22332

S′＝S＝×＝. 4428

[B 能力提升]

1．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是( )

A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

解析：选C.设y′轴与B′C′交于点D′，则O′D′＝22.在原图形中，OD＝42，CD＝2，且OD⊥CD，

所以OC＝（42）2＋22＝6＝OA，所以原图形是菱形．

2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的( )

答案：C

3．如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．

解析：法一：过C′作C′M′∥y′轴，且交x′轴于M′.

过C′作C′D′⊥x′轴，且交x′轴于D′，则C′D′＝所以∠C′M′D′＝45°，所以C′M′＝

6a. 2

3a. 2

16

所以原三角形的高CM＝6a，底边长为a，其面积为S＝×a×6a＝a2.

22

133

法二：因为S△A′B′C′＝×a×a＝a2.

224

2

由S直观图＝S原图得，

44436

S△ABC＝S△A′B′C′＝×a2＝a2.

2224

6

答案：a2

2

4．(选做题)一个圆锥的底面直径是1.6 cm，在它的内部有一个底面直径为0.7 cm，高为1 cm的内接圆柱．

(1)画出它们的直观图； (2)求圆锥的母线长．

解：(1)①画轴．取x轴、y轴、z轴，记坐标原点为O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°(如图①所示)．

②画底面．以O为中心，按x轴、y轴画一个直径等于1.6 cm的圆的直观图．

③画内接圆柱．以O为中心，按x轴、y轴画一个直径等于0.7 cm的圆的直观图，然后在z轴上取线段OO′＝1 cm，过点O′作平行于x轴的x′轴，平行于y轴的y′轴，再以O′为中心，利用x′轴、y′轴画一个直径为0.7 cm的圆的直观图．再画圆柱的两条母线，使它们与这两个椭圆相切．

④成图．画圆锥的两条母线，再加以整理，就得到所要画的直观图(如图②所示)． (2)设圆锥的高为h， h－10.7则＝，

h1.6

16

解之得h＝.

9

所以圆锥的母线长为

2

222?16?l＝R＋h＝0.8＋?9? 4481＝.

45

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