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第二十一讲 数形结合
【趣题引路】
你曾听说过蚂蚁回家的故事吗?事情是这样的:如图,D是三角形ABC?的边AB上一点,其上有一只小蚂蚁,它首先从D点沿平行于BC的方向爬行到AC边上的E点;?再从E点沿平行于AB方向爬到BC边上的F点;再从F点沿平行于AC的方向爬行到AB边上的G点……,这样每从一边爬到另一边算爬一次,?那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原出发点D?如果可经最少n次回到D点,那么n的值等于多少??加上什么条件就可以求得蚂蚁回家的总路线的长?
解析 (1)若D是AB中点,则n=3;
(2)若D不是AB中点,可证明6次后蚂蚁回到出发点D, 如图,?因蚂蚁行走路线都是与△ABC各边平行的,所以
ADAEBFBGCHCKAM??????, BDECFCGAAHBKBMAD?BDAM?BMABAB??∴.即
BDBMBDBM ∴BD=BM,即M与D重合,n=6.
当第(1)种情况时,蚂蚁回家的总路线长是△ABC各边和的一半,?只要知道△ABC各边长即可求解;
当第(2)种情况时,只要知道△ABC各边长和AD、DG或AE、EH等即可求解.请读者计算一下. 点评
数与形是一个不可分割的整体,数体现形的大小,形状,?而形又是抽象的数量关系形象化,数形结合能使我们容易把握问题的实质.
【知识延伸】
2 例 求函数y=x2?1+(4?x)?4的最小值.
解析 构造如图所示的两个直角三角形,
即Rt△PAC,Rt△PBD,使AC=1,BD=2,PC=x,PD=4-x, 求最小值可转化为:
在L上求一点P,使PA+PB最小.
取点A关于L的对称点A′连结A′B, 则A′B与L的交点即为所求P点,
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故PA+PB的最小值即是线段A′B在Rt△A′EB中,A′B=32?42, 故函数y的最小值为5. 点评
此题若用代数方法来解很麻烦,通过对函数形式观察,发现:x2?1可以看成是以x、
2?1为直角边的三角形的斜边,(4?x)?4可以看成是以(4-x),2为直角边的斜边,?此题
可归纳为求两个直角三角形斜边的和的最小值,于是可构造图形来解决.
【好题妙解】
佳题新题品味
例1 在直径为AB的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB,?顶点C在半圆周上,其他两边分别为6和8.现在建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中,DE在AB上,如图21-3的设计方案是使AC=8,BC=6. (1)求△ABC中AB边上的高h;
(2)设DN=x,当x取何值时,水池DEFN的面积最大?
(3)实际施工时,发现AB上距B点1.85m处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树?
解析 (1)运用勾股定理和面积公式可求得h=4.8; (2)∵△CNF∽△CAB,∴ ∴NF=
h?DNNF?. hAB 10(4.8?x).
4.810?102
则SDEFN=x··(4.8-x)=(x-4.8x).
4.84.8 故当x=2.4时,SDEFN最大;
(3)当SDEFN最大,x=2.4时,F为BC中点,在Rt△FEB中,EF=2.4,BF=3. ∴BE=BF2?EF2=92?2.42=1.8. ∵BM=1.85,∴BM>EB.
故大树位于欲修建的水池边上,应重新设计方案. ∵x=2.4时,DE=5,∴AD=3.2. 点评
本例应用二次函数的性质求解,并综合了相似三角形,圆等几何知识.?题目设计新颖,有较强的创新特色.
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?2y2?x?xy?3?25,?2?y 例2 正数x,y,z满足? ?z2?9,3??z2?xz?x2?16.?? 试求xy+2yz+3xz的值.
解析 如图21-4,构造一直角三角形PQR,
由条件可知:△PQR内有一点,使OQ=z,OP=则S△PQR=S△OPR+S△OPQ+S△OQR. 即
y,OR=x, 3111yy1×3×4=×x×sin150o+·+·z·x·sin120o, 222332 ∴6=xyyz3xy++.
44323 ∴xy+2yz+3xz=243. 点评
此题条件复杂,若想通过代数方法求解,势必十分困难,通过观察,利用余弦定理构造图形却使问题变得较容易.
例3 已知方程│x│=ax+1有一负根而没有正根,求实数a的取值范围.
解析 如图21-5,方程│x│=ax+1的根就是函数y1=│x│和y2=ax+1的图象交点的横坐标.方程只有负根而没有正根,就是过点(0,1)的直线y1=x+1只与直线y=-x(?x≤0)相交而不与直线y=x(x≥0)相交.在同一坐标系中作出y1=│x│与y2=ax+1?的图象,观察图象知,-1≤-
1<0,∴a≥1. a
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全能训练
A级
1.函数y=
1(a>0),无论x取任何实数,函数总有意义的条件是_______.
ax2?bx?c2.已知边长为a的正方形,内接一个边长为b的正方形,求证:b
3.已知a、b、x、y都是正数,且a2+b2=x2+y2=ax+by=1,求证:a2+y2=b2+x2=1,且ab=xy.
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A级(答案) 1.b2-4ac>0.
?x?y?a?2.提示:如图,由题意可得?122
xy?(a?b)??2构造方程,由△≥0即得结论.
3.构造出以1为直径的圆内接四边形ABCD, 如图,使AB=a,AD=b,BC=y,DC=x,?
由托勒密定理知ax+by=AC·BD=1,而BD=1. ∴AC=1即圆的直径. ∴四边形ABCD为矩形. 故可得a=x,b=y.
∴a2+y2=b2+x2=1,且ab=xy.
B级
1.已知正数a、b、c、A、B、C满足:a+A=b+B=c+C=10.求证:a·B+b·C+c·A<100.?
2.已知正数a、b,且a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥
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25. 2www.czsx.com.cn
B级(答案)
1. 提示:构造等边△DEF如图,使DE=a+A,EF=c+C,FD=B+b,
由S1+S2+S3 2.提示:如图,构造点P(-2,-2),Q(a,b), 则不等式左边是PQ2,Q是线段AB上的点,AB的中点为C, 则可求得PC=52,由PQ≥PC可得结论. 2 - 6 - 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库第二十一讲 数形结合(含解答)-在线全文阅读。
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