【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.1 向量的概念及表示教案 苏

2．1向量的概念及表示

(教师用书独具)

●三维目标 1．知识与技能

(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念． 2．过程与方法

在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力． 3．情感、态度与价值观

(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力． (2)对学生进行辩证思维的教育. ●重点难点

重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示． 难点：向量的概念和共线向量的概念．

(教师用书独具)

●教学建议

1．关于向量概念的教学

教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征． 2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学

教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练． ●教学流程

创设问题情境，引入向量的概念.

?

引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.?

通过类比数与向量的概念，引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.

?通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.?

通过例2及其变式训练，使学生掌握利用有向线段表示向量的方法，并注意向量模的大小.?

通过例3及其变式训练，使学生掌握写出图形中的相等

共线向量的方法.

??

归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念． 2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点) 3.理解向量的几何表示. 向量及其有关概念 课标解读

【问题导思】

(1)火车向正南方向行驶了50 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是正南．

(2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．

1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？ 【提示】 它们的大小和方向都是确定的． 2．上述实例中的速度和力，如何表示？

【提示】 可以用有向线段表示，也可以用字母表示． 1．向量的概念

向量：既有大小，又有方向的量叫向量． 2．向量的表示

(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头→

所指的方向表示向量的方向．以A为起点、B为终点的向量记作AB. →→向量AB的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB|. (2)用字母表示向量

→→

通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a， b， →

c…表示向量．

→→

也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB，CD. 3．与向量有关的概念

(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.

(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．

(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.

向量的有关概念 判断下列各说法是否正确： (1)单位向量一定相等；

(2)若a＝b，b＝c，则a＝c；

→→

(3)若AB＝CD，则点A与点C重合，点B与点D重合；

(4)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (5)若向量a＝b，则a∥b； (6)若a∥b，b∥c，则a∥c.

【思路探究】 从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．

【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．

(2)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

→→→→

(3)不正确．这是因为AB＝CD时，应有|AB|＝|CD|及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定有A与C重合，B与D重合．

(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的． (5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．

(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b＝0时，满足a∥b，b∥c，但a与c不一定共线．

1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．

2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．

3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．

下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号) 【解析】 方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确． 【答案】 ②

向量的表示 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°

行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D. →→→

(1)作出向量AB，BC，CD； →(2)求|AD|.

【思路探究】 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．

【自主解答】 (1)如图．

→→→→

(2) 由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线，即AB∥CD. →→

又∵|AB|＝|CD|，

∴在四边形ABCD中，AB綊CD. ∴四边形ABCD为平行四边形． →→

∴|AD|＝|BC|＝200(千米)．

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．

在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．

图2－1－1

→

(1)|OA|＝3，点A在点O正西方向；

→

(2)|OB|＝32，点B在点O北偏西45°方向．

【解】 取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：

相等向量与共线向量

图2－1－2

如图2－1－2所示，在△ABC中，三边长均不相等，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，在以A，B，C，D，E，F这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

→

(1)与EF共线的向量； →

(2)与EF长度相等的向量； →

(3)与EF相等的向量．

→→

【思路探究】 (1)与EF共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与EF长度相等即表→

示向量的线段与EF长度相等；(3)与EF相等的向量即与之共线且长度相等的向量． 【自主解答】 (1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC， →→→→→→→→∴与EF共线的向量为FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.

11

(2)∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴BD＝DC＝BC，EF＝BC. 22→→→→→→

∵AB，BC，AC均不相等，∴与EF长度相等的向量为FE，BD，DB，DC，CD. →→→(3)与EF相等的向量为DB，CD.

1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

图2－1－3

如图2－1－3，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：

→

(1)与CM模相等且共线的向量；

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