《高中数学》必会基础题型5—《平面向量》

《高中数学》基础题型——《平面向量》

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量：既有大小又有方向的量。记作：???AB?或?a。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：|???AB?|或|?a|。 3.单位向量：长度为1的向量。若?e是单位向量，则|?e|?1。

4.零向量：长度为0的向量。记作：?0。【?0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。???AB??????BA?。

8.三角形法则： ???AB?????BC?????AC?；???AB?????BC?????CD?????DE?????AE?；???AB?????AC?????CB?（指向被减数） 9.平行四边形法则：

以?a,b?为临边的平行四边形的两条对角线分别为?a??b，?a??b。

10.共线定理：?a???b??a//?b。当??0时，?a与?b同向；当??0时，?a与b?反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若?a?(x,y)，则|?a|?x2?y2，?a2?|?a|2，|?a?b?|?(?a?b?)2 13.数量积与夹角公式：?a?b??|?a|?|b??|cos?； cos??a??b|?a|?|b?|

14.平行与垂直：?a//?b??a??b??x???b??a?b?1y2?x2y1；a?0?x1x2?y1y2?0 题型1.基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是???AB?????CD?。

（5）若???AB?????CD?，则A、B、C、D四点构成平行四边形。 （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若?a与b?共线， b?与?c共线，则?a与?c共线。

（8）若ma??mb?，则?a?b?。 （9）若ma??na?，则m?n。 （10）若?a与b?不共线，则?a与b?都不是零向量。

1

（11）若?a??b?|?a|?|b?|，则?a//b?。 （12）若|?a??b|?|?a??b|，则?a??b。 题型2.向量的加减运算

1.设?a表示“向东走8km”, b?表示“向北走6km”,则|?a??b|? 。

2.化简(???AB?????MB?)?(???BO?????BC?)?????OM?? 。

3.已知|???OA?|?5,|???OB?|?3,则|???AB?|的最大值和最小值分别为 、 。

4.已知???AC?为???AB?与???AD?的和向量，且???AC???a,???BD???b，则???AB?? ，???AD?? 。

5.已知点C在线段AB上，且???AC??3???5AB?,则???AC?? ???BC?，???AB?? ???BC?。

题型3.向量的数乘运算

1.计算：（1）3(?a??b)?2(?a?b?)? （2）2(2?a?5?b?3c?)?3(?2?a?3b??2c?)?

2.已知a??(1,?4),b??(?3,8)，则3a??1?2b? 。

题型4.作图法球向量的和

已知向量?a,b?，如下图，请做出向量3?a?1??3?2b和2a?2b。

?a b?

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在?ABC中，D是BC的中点，请用向量???AB?，???AC?表示???AD?。 2.在平行四边形ABCD中，已知???AC??a?,???BD??b?，求???AB?和???AD?。

题型6.向量的坐标运算

1.已知???AB??(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是 。

2.已知???PQ??(?3,?5)，P(3,7)，则点Q的坐标是 。

3.若物体受三个力F?,2),F??1?(12?(?2,3),F3?(?1,?4),则合力的坐标为 。 4.已知a??(?3,4)，b??(5,2)，求a??b?，a??b?，3a??2b?。

5.已知A(1,2),B(3,2),向量a??(x?2,x?3y?2)与???AB?相等，求x,y的值。 6.已知???AB??(2,3)，???BC??(m,n)，???CD??(?1,4)，则???DA?? 。

2

?????????????7.已知O是坐标原点，A(2,?1),B(?4,8)，且AB?3BC?0，求OC的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知?e?,?e??12是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.?e????????e????????e??????????????????????1?e2和e12 B.3e1?2e2和42?6e1 C.e1?3e2和e2?3e1 D.e2和e2?e1

2.已知a??(3,4)，能与a?构成基底的是（ ）

A.(34433445,5) B.(5,5) C.(?5,?5) D.(?1,?3)

题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|???OA?|?2，?xOA?150?，求???OA?的坐标。2.已知O是原点，点A在第一象限，|???OA?|?43，?xOA?60?，求???OA?的坐标。

题型9.求数量积

1.已知|a?|?3,|b?|?4，且a?与b?的夹角为60?，求（1）a??b?，（2）a??(a??b?)，

（3）(a??12b?)?b?，（4）(2a??b?)?(a??3b?)。

2.已知a??(2,?6),b??(?8,10)，求（1）|a?|,|b?|，（2）a??b?，（3）a??(2a??b?)，

（4）(2a??b?)?(a??3b?)。

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题型10.求向量的夹角

??????1.已知|a|?8,|b|?3，a?b?12，求a与b的夹角。

????a2.已知a?(3,1),b?(?23,2)，求与b的夹角。

3.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cos?BAC。

题型11.求向量的模

?????????1.已知|a|?3,|b|?4，且a与b的夹角为60，求（1）|a?b|，（2）|2a?3b|。

??1??????2.已知a?(2,?6),b?(?8,10)，求（1）|a|,|b|，（2）|a?b|，（3）|a?b|。

2

??????3.已知|a|?1，|b|?2，|3a?2b|?3，求|3a?b|。

???a题型12.求单位向量 【与a平行的单位向量：e???】

|a|1??1.与a?(12,5)平行的单位向量是 。 2.与m?(?1,)平行的单位向量是 。

2

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题型13.向量的平行与垂直

??????1.已知a?(6,2)，b?(?3,m)，当m为何值时，（1）a//b？（2）a?b？

??????2.已知a?(1,2)，b?(?3,2)，（1）k为何值时，向量ka?b与a?3b垂直？ ????（2）k为何值时，向量ka?b与a?3b平行？

??????????3.已知a是非零向量，a?b?a?c，且b?c，求证：a?(b?c)。

题型14.三点共线问题

1.已知A(0,?2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线。

?????????????2?????2.设AB?(a?5b),BC??2a?8b,CD?3(a?b)，求证：A、B、D三点共线。

2

??????????????????3.已知AB?a?2b,BC??5a?6b,CD?7a?2b，则一定共线的三点是 。 4.已知A(1,?3)，B(8,?1)，若点C(2a?1,a?2)在直线AB上，求a的值。

????????????5.已知四个点的坐标O(0,0)，A(3,4)，B(?1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使OA?tOB?OC成立？

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