22. 方差分析
一、方差分析原理
1. 方差分析概述
方差分析可用来研究多个分组的均值有无差异，其中分组是按影响因素的不同水平值组合进行划分的。
方差分析是对总变异进行分析。看总变异是由哪些部分组成的，这些部分间的关系如何。
方差分析，是用来检验两个或两个以上均值间差别显著性（影响观察结果的因素：原因变量（列变量）的个数大于2，或分组变量（行变量）的个数大于1）。一元时常用F检验（也称一元方差分析），多元时用多元方差分析（最常用Wilks’∧检验）。
方差分析可用于：
（1）完全随机设计（单因素）、随机区组设计（双因素）、析因设计、拉丁方设计和正交设计等资料；
（2）可对两因素间交互作用差异进行显著性检验； （3）进行方差齐性检验。
要比较几组均值时，理论上抽得的几个样本，都假定来自正态总体，且有一个相同的方差，仅仅均值可以不相同。还需假定每一个观察值都由若干部分累加而成，也即总的效果可分成若干部分，而每一部分都有一个特定的含义，称之谓效应的可加性。所谓的方差是离均差平方和除以自由度，在方差分析中常简称为均方（Mean Square）。
2. 基本思想
基本思想是，将所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。
根据效应的可加性，将总的离均差平方和分解成若干部分，每一部分都与某一种效应相对应，总自由度也被分成相应的各个部分，各部分的离均差平方除以各自的自由度得出各部分的均方，然后列出方差分析表算出F检验值，作出统计推断。
方差分析的关键是总离均差平方和的分解，分解越细致，各部分的含义就越明确，对各种效应的作用就越了解，统计推断就越准确。
效应项与试验设计或统计分析的目的有关，一般有：主效应（包括各种因素），交互影响项（因素间的多级交互影响），协变量（来自回归的变异项），等等。
当分析和确定了各个效应项S后，根据原始观察资料可计算出各个离均差平方和SS，再根据相应的自由度df，由公式MS=SS/df，求出均方MS，最后由相应的均方，求出各个变异项的F值，F值实际上是两个均方之比值，通常情况下，分母的均方是误差项的均方。
根据F值的分子、分母均方的自由度f1和f2，在确定显著性水平为α情况下，由F(f1, f2)临界值表查得单侧Fα界限值。当F
3.方差分析的实验设计
为了确定方差分析表中各个有关效应项，需要在试验设计阶段就作出安排，再根据设计要求进行试验，得出原始观察值，按原来设计方案算出方差分析表中的各项。
在试验设计阶段通常需要考虑如下4个方面： （1）研究的因变量
即试验所要观察的主要指标，一次试验时可以有多个观察指标，方差分析时也可以同时对多个因变量进行分析；
（2）因素和水平
试验的因素（factor）可以是品种、人员、方法、时间、地区等等，因素所处的状态叫水平（level）。在每一个因素下面可以分成若干水平。
（3）因素间的交互影响
多因素的试验设计，有时需要分析因素间的交互影响（interaction），2个因素间的交互影响称为一级交互影响（A×B）；3个因素间的交互影响称为二级交互影响（A×B×C）。
当交互影响项呈现统计不显著时，表明各个因素独立，当呈现统计显著时，就需要列出这个交互影响项的效应，以助于作出正确的统
计推断。
举例解释上述概念：要考察焦虑症的治疗疗效，一个因素是治疗方案，有2种治疗方案，即该因素有2个水平；（治疗方案称为组间因子，因为每个患者只能被分配到一个组别中，没有患者同时接受两种治疗）；再考虑一个因素治疗时间，也有两个水平：治疗5周和治疗6个月，同一患者在5周和6个月不止一次地被测量（两次），称为重复测量（治疗时间称为组内因子，因为每个患者在所有水平下都进行了测量）。
建立方差分析模型时，既要考虑两个因素治疗方案和治疗时间（主效应），又要考虑治疗方案和时间的交互影响（交互效应），此时即两因素混合模型方差分析。
当某个因素的各个水平下的因变量的均值呈现统计显著性差异时，必要时可作两两水平间的比较，称为均值间的两两比较。 二、R语言实现
方差分析对数据的要求：满足正态性（来自同一正态总体）和方差齐性（各组方差相等），在这两个条件下，若各组有差异，则只可能是来自影响因素的不同水平。
用aov()函数进行方差分析，基本格式为：
aov(formula, data=NULL, projections=FALSE, qr=TRUE,
contrasts=NULL, ...)
其中，formula为方差分析公式；
data为数据框；
projection设置是否返回预测结果；
qr设置是否返回QR分解结果； contrasts为公式中一些因子的列表。
formula公式的表示：（y为因变量，ABC为分组因子） 符号 ~ eg：y~A+B+C 用法 分隔符号，左边为响应变量，右边为解释变量 + 分隔解释变量 ： * ^ .
常见研究设计的表达式：（小写字母表示定量变量，大写字母表 示组别因子，Subject是对被试者独有的标识变量）
设计 单因素ANOVA 含单个协变量的单因素ANCOVA 双因素ANOVA 含两个协变量的双因素ANCOVA 随机化区组 单因素组内ANOVA 含单个组内因子(W)和单个组间因子(B)的重复测量ANOVA 表达式 y~A y~x+A y~A*B y~x1+x2+A*B y~B+A, B为区组因子 y~A+Error(Subject/A) y~B*W+Error(Subject/W) 表示变量的交互项 eg：y~A+B+A:B 表示所有可能交互项 eg：y~A*B*C可展开为：y~A+B+C+A:B+A:C+B:C+A:B:C 表示交互项达到次数 eg：y~(A+B+C)^2展开为：y~A+B+C+A:B+A:C+B:C 表示包含除因变量外的所有变量 eg：若一个数据框包括变量y,A、B和C，代码y~.可展开为y~A+B+C 注意：非均衡设计时或存在协变量时，效应项的顺序对结果影响较大，越基础的效应越需要放在表达式前面，首先是协变量、然后是
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