高三数学第一轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系知识精讲.doc

高三数学第一轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系

【本讲主要内容】

直线与圆锥曲线的位置关系

直线与椭圆的位置关系、直线与双曲线的位置关系、直线与抛物线的位置关系

【知识掌握】 【知识点精析】

1. 直线与椭圆的位置关系：

?　相交 （割线）?（1）位置关系：? 相切 （切线）

?　相离?（2）判定方法：将直线的方程与椭圆的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程。

若方程有两个不同解（??0），则直线与椭圆相交； 若方程有一个解（??0），则直线与椭圆相切； 若方程无解（??0），则直线与椭圆相离。 2. 直线与双曲线的位置关系： （1）位置关系：

①相交：直线与双曲线有两个交点或有一个公共点（直线与渐近线平行）。

②相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行于双曲线的渐近线。 ③相离：直线与双曲线无公共点。

（2）判定方法：用直线的方程与双曲线的方程联立的方程组的解的个数描述直线与双曲线的位置关系如下：

①方程有一组解?直线与双曲线相切或相交（一个公共点）；

②方程组有二组解?直线与双曲线相交（两个交点交于一支或二支）； ③方程组无解?直线与双曲线相离。 3. 直线与抛物线的位置关系： （1）位置关系： ①相交：直线与抛物线交于两个不同点，或直线与抛物线的对称轴平行与抛物线交于一个点。

②相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，且直线不平行于抛物线的对称轴。 ③相离：直线与抛物线无公共点。

（2）判定方法：把直线的方程与抛物线的方程联立起来得到一个方程组，于是 ①方程组有一组解?直线与抛物线相交或相切（一个公共点）； ②方程组有两组解?直线与抛物线相交（两个公共点）； ③方程组无解?直线与抛物线相离。 4. “设而不求”、韦达定理和弦长公式： （1）“设而不求”的方法：

若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地，首先设出交点坐标

A?x1,y1?,B?x2,y2?，其中有四个参数x1、y1、x2、y2，它们的作用，只是过渡性符号，通

用心 爱心 专心

常是不需要求出的，但有利于用韦达定理等解决问题，是直线与圆锥曲线关系中的常用方法。

（2）韦达定理和弦长公式：

斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别为

2，则AB?x1?x2?1?k?y1?y2?1?A?xB2x,?2y?,?1,y11k??0?，利用这个公k2式求弦长时，应注意应用韦达定理，k?0或k不存在时不用公式，直接求解。

说明：①在研究直线与圆锥曲线的关系时，如果直线的斜率未定，不要忽略斜率不存在的情况。研究直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点等问题时，首先应保证相交，即??0。与弦的中点有关问题求解常用方法一般是韦达定理法，但以定点为中点的弦所在直线的方程、弦中点轨迹及弦的中垂线问题用点差法更为方便。

②在判断位置关系时应注意数形结合思想的运用。

③解答存在型探索性问题一般有两种方法：一是反证法，即先假设某数学对象存在，然后据此推理或计算，直至得到存在的依据或导出矛盾，从而肯定或否定假设；二是假设验证法，即在假设某数学对象存在的前提下，有特例探索可能的对象，作出猜想，然后加以论证。

【解题方法指导】

例1. 已知直线y??a?1?x?1与曲线y2?ax恰有一个公共点，求实数a的值。

??y??a?1?x?1解析：联立方程?，

2??y?ax⑴当a?0时，此方程组恰有一组解为?⑵当a?0时，消去x，得

?x?1；

?y?0a?12a?1y?y?1?0。若?0，即a??1，方程变为一aa元一次方程，?y?1?0，方程组恰有一组解??x??1a?1?0，即a??1，令??0，；若a?y??1得1?4?a?1?4?0，可解得a??，这时直线与曲线相切，只有一个公共点。

5a?1、?综上所述，若a?0、42时，直线与曲线y?ax只有一个公共点。 5评述：对于开放的曲线，??0仅是一个公共点的充分但并不必要的条件。本题用代数

2方法求解完后，应从几何上验证一下：当a?0时，曲线y?ax变为直线y?0，此时与已

知直线y?x?1恰有一个交点?1，0?；当a??1时，直线y??1与抛物线y2??x的对称轴平行，恰有一个交点（代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零）；当

414a??时，直线y?x?1与抛物线y2??x相切。

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例2. 过点Q?41，?作抛物线y2?8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在直线的方程。

2解析：解法一：设以Q为中点的弦AB端点坐标为A?x1,y1?,B?x2,y2?，则有y1 ?8x1，2y2?8x2，两式相减，得?y1?y2??y1?y2??8?x1?x2?。又x1?x2?8，y1?y2?2，则

k?y2?y18??4，∴所求直线AB的方程为y?1?4?x?4?，即4x?y?15?0

x2?x1y1?y2??y?k?x?4??1解法二：设弦AB所在直线的方程为y?k?x?4??1，由?，消去x，

2??y?8x2整理，得ky?8y?32k?8?0。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由韦达定理得y1?y2?8。又k∵Q是AB中点，∴

y1?y28?1，∴?2，∴k?4，∴弦AB所在直线的方程为2k4x?y?15?0

评述：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐标的问题，有时采用“点差法”，

可优化解题方法，简化运算。

x2y2??1上有不同两点关于直线y?4x?m对例3. 试确定m的取值范围，使得椭圆43称。

解析：设椭圆上两点A?x0??，y0???，B?x0??，y0???，AB的中点为

C?x0，y0?

??x0???2?y0???2??1??1?43???。又?，两22?4??x0????y0?????1?43?∵A、B关于y?4x?m对称，∴kAB式相减得

?x??m3x? ??0，∴y0?3x0，而点C在直线y?4x?m上，∴?0?4y0?y0??3m?213213?(?m)2(?3m)2x2y2??1，∴m????1内，∴∵点C在椭圆

??13，13?? 4343??评述：要使抛物线上存在两点关于所给直线对称，则必须保证所给直线与抛物线有两个

交点，同时保证两个交点的连线被所给直线垂直平分。

【考点突破】

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【考点指要】

直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点，多出现在综合题中，考查综合能力的应用，近几年常与平面向量知识相综合，体现了较强的综合性，分值大约12～13分。

考查通常分为四个层次：

层次一：考查直线与圆锥曲线位置关系的判定；

层次二：考查直线与圆锥曲线相交的焦点弦、中点弦问题；

层次三：考查直线与圆锥曲线位置关系产生的最值、对称、求参数范围等问题； 层次四：考查直线与圆锥曲线位置关系与其它知识的综合问题。

解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法、韦达定理法、点差法。

【典型例题分析】

例4. （2006四川）直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（ ）

A. 48 答案：A

B. 56

C. 64

D. 72

解析：由y?x?3和y2?4x可得，A?9，6?、B?1，?2?，而抛物线的准线方程是

x??1，所以AP?10，QB?2，PQ?8，故梯形APQB?1?AP?QB?PQ?48 2评述：本题考查直线与抛物线相交的位置关系，利用解方程组可得交点坐标，进一步得所求梯形的边的关系。

x2y2例5. （2006湖北）设A、B分别为椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点，椭圆长

ab半轴的长等于焦距，且x?4为它的右准线。

⑴求椭圆的方程；

⑵设P为右准线上不同于点?4，0?的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。

?a?2c?a?2x2y2?2??1 解析：⑴依题意得?a，解得?，从而b?3，故椭圆方程为43?c?1??4?c⑵解法一：由⑴得A??2，0?、B?2，0?。设M?x0，y0?，∵M点在椭圆上， ∴y0?2324?x0?? ① 又M点异于顶点A、B， 4??6y0?? x0?2?∴－2＜x0＜2。由P、A、M三点共线可得P?4，用心 爱心 专心

??????????6y?从而BM??x0?2，y0?，BP??2，0?，

?x0?2??????????6y02222∴BM?BP?2x0?4? ② ?x0?4?3y0??x0?2x0?2?????????5将①式代入②式化简得BM?BP??2?x0?

2??∵2?x0?0，∴BM·BP?0

于是?MBP为锐角，从而?MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。 解法二：由⑴得A??2，0?、B?2，0?

设P?4，?????0?，M?x1，y1?， N?x2，y2?， 则直线AP的方程为y??6?x?2?，直线BP的方程为y??x?2?

2?∵点M、N分别在直线AP、BP上，∴y1?从而y1y2??6?x1?2?，y2??x2?2?

2??212?x1?2??x2?2?

③

??y??x?2???62222y27??x?4?x?4??27??0 联立?2，消去得???2?x?y?1?3?4∵x1，-2是方程的两根，∴?-2??x1?4??2?27??2?27，即x1?2?27??2??2?27 ④

?????????又BM?BN??x1?2，y1???x2?2，y2???x1?2??x2?2??y1y2 ⑤

?????????5?2于是由③④式代入⑤式化简可得BM?BN?2?x2?2?

??27∵N点在椭圆上，且异于顶点A、B，

??5?2??0?0，从而BM·BN?0，故?MBN为钝角，∴x2－2＜0 又∵，∴2??27即点B在以MN为直径的圆内。

解法三：由⑴得A??2，0?、B?2，0?

设M?x1，y1?，N?x2，y2?，则－2＜x1＜2，－2＜x2＜2。

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