八年级数学下册期末专题复习和训练：几何计算题、证明
一、题型特点：四边形（4种常见的）、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中，…… 二、常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放）、探索性（数量关系、位置关系），……
4. 已知□ABCD，BE=AB,BF =BD. 求证：CD=CM
C D
三、图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形，……
下面我根据图形搭建结构特征进行分类，列举一部分和本期几何部分（主要是平行四边形）的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析.
一、以平行四边形搭建起来的图形
例1.?ABCD中，AB=4cm，AD=7cm, ∠ABC的平分线交AD于E,交CO的延长线于F,求DF的长？
例2.△ABC、△ADE都是正三角形，CD=BF. （1）、求证：△ACD≌△CBF （2）、当D运动至BC边上的何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°论. A,并证明你的结
EF B
DC
练习： AD1.如图,在□ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD,∠EAF=60°，则∠B=（ ）； 2.□ABCD的周长为60ｃｍ，对角线AC、BD交于点O,△AOB的周 F长比△BOC的周长多10ｃｍ，则AD=（ ），DC=( )；
BEC3.□ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E点，若∠ABE=25°CD=5cm,BC=7cm,那么∠ABE=（ ），∠BED=（ ），AE=（ ）.
八数下期期末专题复习和训练：几何计算、证明题 第 1页（共 10页）
M ABEF
5. △ABC是正三角形，AE=BD,DF∥CE,EF∥CD. 求证: △AGF≌△EAC
A FE G BDC
6.以△ABC的三边在BC的同侧做等边△EBC、等边△FBA、等边△DAC. ⑴.判断四边形FADE的形状？
⑵.当∠BAC为多少度时，四边形FADE为矩形？ ⑶.当∠BAC为多少度时，四边形FADE不存在？ E D F A
BC
7. 有一块如图的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm,BC=80cm，∠A=120°，∠
第 2页 （共 10页）
B=60°，∠C=150°，你能根据测得的数据计算AD的长？
二、以矩形搭建起来的图形
例1.D为□ABCD外一点，∠APC=∠BPD=90°.求证: □ABCD为矩形
P AD分析：判定矩形的方法主要有三种?.但在已知了四边形ABCD是平行
四边形的情况下，要判定
ABCD是矩形的途径有两条：其一、找 O一内角是直角；其二、找出对角线相等，即找出AC?BD.
BC由于本题的另一主要条件是∠APC=∠BPD=90°，要根据题中条件和图形位置转换成四边形的内角为90°比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出??AC?BD.
我们发现本题在RtAPC和RtBPD的两斜边的交点O恰好是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形对角线互相平分可知：O同时是AC、BD?的中点；所以自然联想到连结PO这
条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在RtAPC和Rt??BPD中就有：
AC?2POBD?2PO,故AC?BD,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定ABCD是矩形.
例2. 矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PE⊥AC，PF⊥BD， ⑴.求PE+PF的值？
⑵.若点P是AD上的一动点（不与A、D重合），还是作PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF的值是否会发生变化？为什么？
AC'D八数下期期末专题复习和训练：几何计算、证明题B'F 第 3页（共 10页）
BEC
练习：
1. 矩形ABCD中，AF=DE.求证：BE=CF AFED BC
2. 矩形ABCD中，BE⊥AC，CF⊥BD.求证：BE=CF AD
EF O
BC3. 矩形ABCD中，DF平分∠ADC, ∠BDF=15°. 求∠DOC与∠COF的度数？
4、矩形ABCD中，CE∥BD，则△ACE为等腰三角形吗？为什么？ AD O B C E5.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠， 使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD 的交点C′处．则BC：AB的值为多少？ 第 4页 （共 10页）
三、以菱形搭建起来的图形
例1. △ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，AH⊥BC于H交BD于E,DF⊥BC于F,求证：四边形AEFD是菱形 A
E D
B H F C
例2.（2012中考·自贡） 如图所示，在菱形ABCD中，AB?4,?BAD?120?，?AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． ⑴.证明不论E、F在BC、CDD上如何滑动，总有BE?CF?
⑵.当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值. 分析：
⑴.先求证?AB?AC，进而求证?ABC、?ACD为等边三角形，得?BAC=60?，AC?AB进而求证ABE?≌?ACF，即可求得BE?CF
⑵.根据
ABE≌?ACF可得S?ABE?S?ACF;根据S四边形AECF=S?AEC?S?ACF=
S?AEC?S?BAE=S?ABC即可解得.
A⑴.证明：连接AC，如下图所示.
1∵四边形ABCD为菱形，?BAD?120? 2∴?1??EAC?60?,?2??EAC?60? BD∴?1??2
E∵?BAD?120? H3F∴??ABC?60??
C∴ABC和ACD都为等边三角形 ∴?4=60?，AC?AB
????1??2∴在ABE和ACF中，??AB?AC
???ABC??3∴?ABE≌?ACF?ASA?
∴BE?CF
⑵.解：四边形AECF的面积不变.
八数下期期末专题复习和训练：几何计算、证明题 第 5页（共 10页）
理由：由⑴得
?ABE≌故S四边形AECF=S??ACF，则AEC?S?S?ABE?ACF=S?SAEC?S??ACF.
BAE=S?ABC是定值. 作AH?BC于H点，则BH?2来源:学科网]
S四边形ABCD＝S
?ABC=12BC?AH?12BCAB2?BH2?43 练习：
1. 已知
?ABCD，添加下列一个条件：①?.AC⊥BD；②.∠BAD=90°；③.AB=BC；④.AC=BD.其中能使
ABCD是菱形的为（ ） A．①③ B．②③C．④D.①②③
2.菱形ABCD中，E为AB上的一点，CE交BD于F. 求证：⑴.△ABF≌△CBF；⑵.∠BEC=∠DAF.
A E B D
F C
3. 菱形的对角线的比是2：3，周长为4130cm，求菱形的面积？
4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与
AD、AC、BC分别交于点E、O、F求证：四边形AFCE是菱形 .
AED OB FC
5. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E、F分别是AB、AD上 的动点，且满足BE=AF，接连EF、EC、CF．求证：△EFC是等边三角形
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AFD
E 6.RtB△ABC中，∠ACB=90C°，∠BAC=60°，DE垂直平分 BC，且AF=CE.求证：四边形ACEF为菱形 B D E F
C
A
四、以正方形搭建起来的图形 例1.正方形ABCD中，△DCE是等边三角形.
AD⑴.求∠AED的度数？ FE⑵.若OF=1，求AB的长？
O BC
例2、正方形ABCD的面积为64，DE=2,P为AC上的一动点； A D
求PD+PE的最小值？ P 分析:
E
在一条直线同侧的两点，到直线某点的距离之和最小，按如图所
P'示作E的对称点E'（根据正方形的对称性，对称点E'恰好落在边BC上）
连结DE'交AC于点P',根据轴对称的性质DE'?DP'?E'P'?DP'?EP'
B E'C
,此时和是最小的.
根据正方形ABCD的面积为64可求得边长DC?8,所以CE?CD?DE?8?2?6。所以CE'?6根据正方形的性质和勾股定理可以求得：
八数下期期末专题复习和训练：几何计算、证明题 第 7页（共 10页）
DE'?CD2?E'C2?82?62?10;
即PD+PE的最小值为10.
E AHD
G
F练习:
BC1.正方形ABCD中，∠DAF=25°，如图所示则∠BEC=( ).
2. 在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别为E、F.
⑴.求证:△BOE≌△CDF
⑵.当△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形？
3.如图，边长为3的正方形ABCD绕点按顺时针方向旋转30°后
得到的正方形EFCG交AD于点H,S四边形HFCD=（ ）.
4.E为边长为1的正方形ABCD的对角线上的一点，且BE=BC,P为 CE上的一动点，PQ⊥BC，PR⊥BE，求FPQ+PR的值？
GE AD BC6.正方形AEFG绕着正方形ABCD点A向外（逆时针）旋转一 定角度，连结BE、GD（见图）. ⑵ .求证：BE?GD
⑵.如果改成正方形AEFG绕着正方形ABCD点A向内（顺时针）旋转一定角度，连结BE、GD.那么BE?GD这个结论还成立吗？ 请画出示意图，并说明理由.
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