2014年考研数三真题及答案解析(完整版)(2)

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x1xx???lim?1[t(e?1)?t]dtx2ln(1?1xx21)xx1?lim(e?1)?t2dt??tdt1x?limx2(e?1)?xx???x???1,x则limx2(e?1)?x令u?x???

eu?1?u?lim?u?0u2eu?11?lim??u?02u2（16）【答案】

??20d???2021?cos?sin???d??cos???sin?2cos???d???sin??d?1cos??sin?21?cos????2d???dcos??1?0cos??sin?1?cos?12???2d?(?cos??1??0cos??sin??1?cos????2d??(2?1)0?cos??sin?31?????2d??203??4?21cos??d??)

（17）【答案】

?E?f?(excosy)excosy ?x 第 6 页 共 6 页

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?2Ex2x2xx????f(ecosy)ecosy?f(ecosy)ecosy2?x?E?f?(excosy)ex(?siny)?y?2Ex2x2xx????f(ecosy)esiny?f(ecosy)e(?cosy)2?y

?2E?2E?2?f??(excosy)e2x?(4E?excosy)e2x2?x?yf??(excosy)?4f(excosy)?excosy令excosy?u， 则f??(u)?4f(u)?u，

2u?2u故f(u)?C1e?C2e?

u,(C1,C2为任意常数) 4由f(0)?0,f?(0)?0,得

e2ue?2uuf(u)???

16164

（18）【答案】 由lim(n?2)(n?4)?1，得R?1

n??(n?1)(n?3)当x?1时，

?(n?1)(n?3)发散，当x??1时，?(?1)(n?1)(n?3)发散，

nn?0n?0??故收敛域为(?1,1)。

x?0时，

?(n?1)(n?3)x?(?(n?3)?(n?1)xndx)?nn?0n?00??x?(?(n?3)xn?0?n?11?)??(?(n?3)xn?2)?xn?0。

1?x1?n?3n?2?((??(n?3)xdx)?)??((?x)?)?xn?00xn?01x33x?2x23?x??(()?)??()??s(x)x1?x(1?x)2(1?x)3

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x?0时，s(x)?3，故和函数s(x)?（19）【答案】

3?x，x?(?1,1) 3(1?x)xxx证明：1）因为0?g(x)?1，所以有定积分比较定理可知，

?a0dt??g(t)dt??1dt，即

aa0??g(t)dt?x?a。

ax2）令

F(x)??f(t)g(t)dt??axxx??ag(t)dt?af(t)dt

F(a)?0F?(x)?f(x)g(x)?f[a??ag(t)dt]g(x)?g(x){f(x)?f[a??ag(t)dt]}由1）可知所以a?xx?xag(t)dt?x?a，

?xag(t)dt?x。

由f(x)是单调递增，可知

f(x)?f[a??ag(t)dt]?0

由因为0?g(x)?1，所以F?(x)?0，F(x)单调递增，所以F(b)?F(a)?0，得证。

x??k1?2?k2?6?k3?1???2k?12k?32k?1T123??k,k,k?R? （20）【答案】①??1,2,3,1? ②B???3k1?13k2?43k3?1?123??kkk123??（21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。

?0,y?0,?3?y,0?y?1,?4（22）【答案】（1）FY?y???

1??1?1?y?,1?y?2,??2?2???1,y?2.（2）

3 41 第 8 页 共 8 页

（23）【答案】（1） Y X 0

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0 1 2 91 94 91 95 9（2）

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