牡丹江市中考满分作文-勾股定理中数学思想的运用

勾股定理中数学思想的运用

一.勾股定理中方程思想的运用

方程思想是指：在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决。

例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）

分析：折叠问题是近几年来中考中的常见题型，解折叠问题关键抓住对称性，图中CD在Ｒt△ACD中，由于AC已知，要求CD，只需求AD，由折叠的对称性，得AD=BD，注意到CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之。

解：如右图所示，要使A，B两点重合，则折痕DE必为AB的垂直平分线。连结AD，则AD＝BD。设CD＝x，

则AD=BD=10－x．在Rt△ACD中，由勾股定理，得故选D。

点拨：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解。

二.勾股定理中分类讨论思想的运用

分类讨论思想是指：在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决。最后综合各类结果得到整个问题的结论。分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法。 例题2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。

分析：应分△ABC是锐角三角形或钝角三角形两种情况分别求之。 解：AD是△ABC的高，由勾股定理，得

BD = AB – AD = 20 – 12 = 256, ∴BD = 16 CD = AC – AD = 15 - 12 = 81, ∴CD = 9 （1）若∠C为锐角，如图（1）所示， 则BC = BD + CD = 16 + 9 = 25

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（2）若∠C为钝角，如图（2）所示，

则BC = BD – CD = 16 – 9 = 7

即△ABC的面积为150或42

点拨：在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不惟一时，要注意分情况进行讨论，避免漏解。

三.勾股定理中类比思想的运用

类比思想是数学学习的重要发现式思维，它是一种学习方法，同时也是一种非常重要的创造性思维。它通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性，去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性。从而大胆猜想得到结论(必要时要加以证明)。

例题3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3

（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)

（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明

分析：从同学们熟悉的勾股定理入手，①②容易得证，③中要求出等边三角形的面积。 解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为α、b、c，则c = α + b （1）S1 = S2 + S3

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（2）S1 = S2 + S3．证明如下：显然，

点拨：本题从特殊到一般，从已知到未知，类比勾股定理的探究过程，其关键就在于理解勾股定理．当然，学习了相似三角形的知识后，还可以继续探究：分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，上述结论是否还成立呢？

四.勾股定理中整体思想的运用

整体思想是指：对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解；如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目。

例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．

分析：本题不可能求出S1、S2、S3、S4，但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S1＋S2、S2＋S3、S3＋S4

解：易证Rt△ABC ≌ Rt△CDE ∴ AB = CD 又∵CD + DE = CE,而AB = S3,CE = 3,DE = S4 ∴S3 ＋ S4 = 3，同理S1 ＋ S2 = 1，S2 ＋ S3 = 2

∴S1 ＋ S2 ＋ S2 ＋ S3 ＋ S3 ＋ S4 = 1 ＋ 2 ＋ 3 = 6，即S1 ＋ S2 ＋ S3 ＋ S4 ＝ 4

点拨：化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体思想，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力。

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五.勾股定理中数型结合思想的运用

所谓数形结合思想，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的。 例题5．在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

分析：根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解。

解：如右图所示，D为树顶，AB = 10m，C为池塘，AC = 20m 设BD的长是xm，则树高（x + 10）m ∵AC + AB = BD + DC，∴DC = 20 + 10 – x ∵在△ACD中∠A = 90°，∴AC + AD = DC ∴20 +（x + 10） = （30 –x），解得x = 5 ∴x + 10 = 15，即树高15米

点拨：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系。利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型，再利用方程来解决。

数学思想方法是解决数学问题的灵魂。在运用勾股定理解题时，更应注重思想方法的运用，以提高独立分析问题和解决问题的能力。

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