第二章 数值分析
2.1 已知多项式p(x)?x4?x3?x2?x?1通过下列点：
x p(x) -2 31 -1 5 0 1 1 1 2 11 3 61
试构造一多项式q(x)通过下列点：
x -２ -１ ０ p(x) ３１ ５ １
答案：q(x)?p(x)?r(x)??１ １ ２ １１ ３ １ 153x?x4?x3?3x?1． 222.2 观测得到二次多项式p2(x)的值：
x p(x) -2 ３ -1 １ 0 １ 1 ６ 2 １５
表中p2(x)的某一个函数值有错误，试找出并校正它．
答案：函数值表中p2(?1)错误，应有p2(?1)?0．
2.3 利用差分的性质证明12?22?
2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[?1,1]近似函数e时，使用多少个节点能够保证误差不超过
x?n2?n(n?1)(2n?1)/6．
1?10?6． 2答案：需要143个插值节点．
4(h)2.5 设被插值函数f(x)?C[a,b]，H3(x)是f(x)关于等距节点
a?x0?x1??xn?b的分段三次艾尔米特插值多项式，步长h?M44h． 384b?a．试估计n(h)||f(x)?H3(x)||?．
答案：||f(x)?H3(x)||??
(h)第三章 函数逼近
23.1 求f(x)?sinx,x?[0,0.1]在空间??span{1,x,x}上最佳平方逼近多项式，并给
出平方误差．
答案：f(x)?sinx的二次最佳平方逼近多项式为
sinx?p2(x)??0.832 440 7?10-5?1.000 999 1x?0.024 985 1x2，
二次最佳平方逼近的平方误差为
0.1?2??(sinx)?p2(x))2dx?0.989 310 7?10-12．
03.2 确定参数a,b和c，使得积分
I(a,b,c)??[ax?bx?c?1?x]?1122211?x2dx取最小值．
答案：a??810, b?0, c? 3?3?3.3 求多项式f(x)?2x4?x3?5x2?1在[?1,1]上的３次最佳一致逼近多项式
p(x)．
答案：f(x)的最佳一致逼近多项式为p(x)?x?7x?323． 43.4 用幂级数缩合方法，求f(x)?ex (?1?x?1)上的３次近似多项式p6,3(x)，并估计||f(x)?p6,3(x)||?．
答案：
p6,3(x)?0.994 574 65?0.997 395 83x?0.542 968 75x2?0.177 083 33x3， ||f(x)?p6,3(x)||??0.006 572 327 7
3.5 求f(x)?e (?1?x?1)上的关于权函数?(x)?x11?x2的三次最佳平方逼近
多项式S3(x)，并估计误差||f(x)?S3(x)||2和||f(x)?S3(x)||?．
答案：S3(x)?0.994 571?0.997 308x?0.542 991x2?0.177 347x3，
||f(x)?S3(x)||2?0.006 894 83，||f(x)?S3(x)||??0.006 442 575．
第四章 数值积分与数值微分
4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分精确值比较．
答案：计算结果如下表所示 ?10xndx (n?1,2,3,4)，并与
f(x) x 0. 5 x2 0. 500 000 x3 0. 500 000 x4 0. 500 000 I1 I2 I3 精确值 0. 5 0. 5 0. 5 0. 333 333 0. 333 333 0. 333 333 0. 250 000 0. 250 000 0. 250 000 0. 208 333 0. 200 000 0. 200 000 4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度． （１）（２）
?h?h1f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)
1f(x)dx?[f(?1)?2f(x1)?3f(x2)] ??13hh2（３）?f(x)dx?[f(0)?f(h)]??h[f?(0)?f?(h)]
02答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．
4.3 设h?x1?x0，确定求积公式
?x1x0(x?x0)f(x)dx?h2[Af(x0)?Bf(x1)]?h3[Cf?(x0)?Df?(x1)]?R[f]
中的待定参数A,B,C,D，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．
3711f(4)(?)6,B?,C?,D??，R[f]?h，其中??(x0,x1)． 答案：A?202030201440
4.4 设P2(x)是以0,h,2h为插值点的f(x)的二次插值多项式，用P2(x)导出计算积分
I??3f(x)dx的数值积分公式Ih，并用台劳展开法证明：I?Ih?h4f???(0)?O(h5)． 083h3I?答案：h?p2(x)dx?h[f(0)?3f(2h)]．
043h
4.5 给定积分I?sinx?0xdx
1（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过
?61?10?3． 2（２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？
（３）要求的截断误差不超过10，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？ 答案：（１）只需n?7.5，取９个节点，I?0.946
（２）|Rn[f]|?|?
4.6 用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分I?求用事后误差估计法时，截断误不超过
b?a4(4)1141hf(?)|?()?0.271?10?6 2880288045sinx?0xdx．要
1（３）取７个节点处的函数值．
11?10?3和?10?6． 22答案：使用复化梯形公式时，I?T8?0.946满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，
I?s4?0.946 083满足精度要求．
4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式
b?a(b?a)2?af(x)dx?2[f(a)?f(b)]?12[f?(b)?f?(a)]?R[f]，
(b?a)5(4)f(?), ??(a,b)． 其中余项为 R[f]?4!30b（２）利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式
h2?x0f(x)dx?TN?12[f?(xN)?f?(x0)]，
h其中 TN?[f(x0)?2f(x1)?2f(x2)??2f(xN?1)?f(xN)]，
2而 xi?x0?ih, (i?0,1,2,,N), Nh?xN?x0．
xN
x2?y2?1的周长，使结果具有五位有效数字． 4.8 用龙贝格方法计算椭圆4答案：l?4I?9.6884．
4.9 确定高斯型求积公式
?10xf(x)dx?A0f(x0)?A1f(x1)的节点x0，x1及系数A0，
A1．
答案：x0?0.289 949，x1?0.821 162，A0?0.277 556，A1?0.389 111．
4.10 验证高斯型求积公式
???0e?xf(x)dx?A0f(x0)?A1f(x1)的系数及节点分别为
A0?
2?122, A0?2?122, x0?2?2, x1?2?2．
第五章 解线性方程组的直接法
?11?1???0?． 5.1 用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵A的逆矩阵，其中A??21?1?10???11??0?33???12答案： A?1??0??
?33???21?????1?33??
5.2 用矩阵的直接三角分解法解方程组
020??x1??5??????101??x2??3?? ?????243x317??????x??7?103???4???答案： x4?2，x3?2，x2?1，x1?1． ?1??0?1??0?
5.3 用平方根法(Cholesky分解法)求解方程组
?11??x1??6??4???????14.252.75x??0.5???2??? ?12.753.5??x??1.25????3???答案： x1?2，x2?1，x3??1．
5.4 用追赶法求解三对角方程组
?21??x1??1????x???131???2???2? ?111??x3??2???????0???x???21???4???答案：x4?2，x3??1，x2?1，x1?0．
第六章 解线性代数方程组的迭代法
??x1?8x2?7?６.１ 对方程??x1?9x2?8作简单调整，使得用高斯－赛得尔迭代法求解时对任
?9x?x?x?723?1意初始向量都收敛，并取初始向量x(0)?[0 0 0]T，用该方法求近似解x?3． ||x(k?1)?xk()|?|?10(k?1)，使
答案：近似解为x?[1.0000 1.0000 1.0000]．
６.２ 讨论松弛因子??1.25时，用SOR方法求解方程组
(4)T?4x1?3x2?16??3x1?4x2?x3?20 ??x?4x??123?21?10?4． 2***答案：方程组的近似解为x1?3.33333，x3??2.16667． ?1.50001，x2的收敛性．若收敛，则取x(0)?[0 0 0]T迭代求解，使||x(k?1)?x(k)||??
６.３ 给定线性方程组Ax?b，其中
??1?1A???2?1???2
121121?2??1?，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯－赛得尔迭代法收敛． ?2?1???
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