一元三次、四次方程的一般解法

一元三次方程的一般求解方法

一元三次方程的一般形式：

a0y?a1y?a2y?a3?0,a0?0将（0）式首一化，得

32?0?

y3?a1y2?a2y?a3?0?1?

用新未知数x?y??替代y，对（1）式进行变换，得

x3??3??a1?x2??3?2?2a1??a2?x???3?a1?2?a2??a3??0

取???a1，可使x2项消失，如此得到 x?px?q?02此处p?a2?a1,q?a3?a1a2?133?2?

23a1 271313令 x?u?v 则得

x3?u3?v3?3uv?u?v??u3?v3?3uvx将（3）式与（2）式比较系数可知 3uv??p,u?v??q3?3?

33?4?

33?p?仔细观察（4）式可以发现，u与v是一元二次方程z2?qz????0的根，

?3?利用一元二次方程的求根公式，有

qq2p3u?????R1

24273qq2p3v?????R2

24273又 x?u?v

所以，可以解得

x?3R1?3R2,

即

2323qqpqqpx?3????3???

24272427这就是求解一元三次方程的求根公式，也叫Cardan公式

q2p3?（但要注意讨论??的取值，当为负值时，给出的则为复数根；具体讨论情况略） 427一元四次方程的一般求解方法

一元四次方程的一般形式：

a0y4?a1y3?a2y2?a3y?a4?0将其首一化，得

a0?0

y4?a1y3?a2y2?a3y?a4?0

以y?x?a1代入，则可化为 4x4?px2?qx?r?0

2此处 p??a1?a2,q?3813a1a2341221a1??a3,r??a1?a1a?a1a3?a4 822561642由于恒等式

p2?2p?42x?px?qx?r??x?????qx?r???2?2?x2?p??0,

24??故原方程转化为

2?2p2???2p??2???0?x??????2?x?qx????p??r?24???????5?

?2p2?取适当的?使关于x的二次方程2?x?qx????p??r???0有重根，亦即

4??2?2p2???q?4?2????p??r???0

4??2?p2?而???8??8p??8???r??q2?0是实系数一元三次方程，解该方程，它有三个

?4?32根，设其任一根为?i?i?1,2,3?

22?q??2p?将?i代入（5）式得 ?x???i??2?i?x???0，将其分解为以下两个方程

24???i????2??x??????x2??????pq????i??2?i?x??24??i???pq????i???2?i?x??24??i??

分别解以上两个一元二次方程，即可得到原一元四次方程的四个实根。

（注：此处也要注意讨论参数的取值范围，详细讨论过程略） 参考《高等数学引论》 华罗庚著

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