六年级高斯学校竞赛计数综合三含答案(3)

超越篇

1. 一个九位数，它只由数字 1、2 和 3 组成，而且它的任意连续两位数都不等于 12、21、 22 或 31，这样的自然数有多少个？如果还要求数字 1、2 和 3 每个数字都至少出现一次， 则这样的九位数有多少个？

1 3 ??2

3 3 ?

F (3) ? 2 , 通 过 归 纳 有 F (1) ? F (1) ? F (3) ， 所 以 F (1) ? 2 , F (2) ?

1 2 ,2 2 n n ?1 n ?1

??

Fn (2) ? Fn ?1 (3) ， Fn (3) ? Fn?1 (2) ? Fn?1 (3) m 3 4 5 6 7 8 9 Fn (1) 4 7 12 20 33 55 89 F(2) 2 3 5 8 13 21 34 n Fn (3) 3 5 8 13 21 34 55 因此符合条件的九位数有89 ? 34 ? 55 ? 177 个 要求数字 1、2 和 3 每个数字都至少出现一次，只要将不含1, 2, 3 排除 不含1 的，即全是 3（不可能全是 2 ） 或全由 2, 3 组成的数，共有34 ? 55 ? 89 个 不含2 的，即全由1 或由1, 3 （全是3 的已计算）组成的数，共有9 个 不含3 的，只能是全由1 （已计算） 所以共有177 ? 89 ? 9 ? 79 个

2. （1）如果在一个平面上画出 8 个三角形，最多可以把平面分成多少个部分？ （2）如果在一个平面上画出 3 个四边形、2 个圆、1 条直线，最多可以把平面分成多少 个

部分？ 【分析】（1）设 n 个三角形最多将平面分成 an 个部分．

n ? 1 时， a1 ? 2 ；

n ? 2 时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有 2 个交点，三条边与第 一个三角形最多有2 ? 3 ? 6 (个)交点．这 6 个交点将第二个三角形的周边分成了6 段，这 6 段中的每一段都将原来的每一个部分分成 2 个部分，从而平面也增加了 6 个部分，即 a2 ? 2 ? 2 ? 3 ．

n ? 3 时，第三个三角形与前面两个三角形最多有 4 ? 3 ? 12 (个)交点，从而平面也 增加了12 个部分，即： a3 ? 2 ? 2? 3 ? 4 ? 3 ．…… 一般地，第 n 个三角形与前面? n ? 1? 个三角形最多有 2 ?n ? 1? ? 3 个交点，从而平面 也增加 2 ?n ? 1? ? 3 个部分，故

2 a n ? 2 ? 2? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? 2?n ? 1?? 3 ? 2 ? ??2 ? 4 ? ? ? 2 ?n ? 1??? ? 3 ? 3n ?3n ? 2 ，

特别地，当 n ? 8 时，a 5 ? 3 ? 82 ? 3? 8 ? 2 ? 170 ，即 8 个三角形最多把平面分成170 个 部分．

（2）三个四边形共分出 2 ? 4 ? 3 ? 2 ? 26 部分，再画一个圆与 26 部分，（除内外两 部分），产生24 个交点，再画一个圆产生 24 ? 2 个交点，再画直线产生3 ? 2 ? 2 ? 2 ?10 个交点。所以共有 26 ? 24 ? 26 ? 10 ? 86 部分

3.

如图所示，阴影部分是一个圆环，4 条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分？

【分析】4 条直线最多把一个圆分成1 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 11 部分， 其中最内部是一个由四条直线 围

成的四边形，可以做一个圆与这个四边形相交，最多产生 8 个交点，这样圆环分 成的部分增加了 4 个，少了一个四边形，所以有11 ? 4 ? 1 ? 14 个部分

4. 用 15 个1? 2 的小纸片覆盖图，共有多少种不同的覆盖方法？

【分析】设用1 ? 2 的小纸片覆盖含有 n 个“ ”的图形覆盖方法有 fn 种方法

显然 f1 ? 3

对于如下图形有 f 2

所以 f2 ? f1 ? f1 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 所以 f ? f ? f3 2

? f ? 5 ? 5 ? 3 ? 7

2

1

f 4 ? f 3 ? f 3 ? f 2 ? 9

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