构造函数解决不等式中的恒成立问题思考

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构造函数解决不等式中的恒成立问题思考

作者：程少辉

来源：《科教导刊·电子版》2017年第12期

摘 要 本文针对高考数学试题中的不等式恒成立问题进行思考分析，以构造函数的解题思路来解决此类题目，帮助考生更好地利用函数知识解题，进一步提高考生对此类考题的解题信心，从而提高高考数学成绩。

关键词 高考数学题 不等式 函数 解决 中图分类号：G642 文献标识码：A

不等式恒成立问题是高考及各类考试的命题热点，也是数学教学的重点和难点。学生在进行此类数学题目的解答时，往往在构造函数方面出现问题，受困于某一点上不能顺利进行又或按照错误的思路方向进行解题，因此，现结合相关经典考题进行讲解论述，以帮助学生更好解决此类数学难题。 1参变分离原则

在含参数的不等式成立问题中，常常可将含参数的部分“分离”到一端，并且另一端的“无参”函数可求最值，这种“分离参数法”的思路简洁通俗、直截了当，是我们建构目标函数解决问题的一种典型做法。

例1：对一切x∈R+，不等式2xlnx≥x2+ax3恒成立，求实数a的取值范围。

解析：上述不等式中含参数的部分“单一”，参数分离非常容易：a≤x++2lnx，对于不等式另一侧的无参函数g（x）=x++2lnx（x>0），利用导数知识求其最小值也很常规。运用分离参数法必须具备两个基本条件：一是不等式中含参数的部分容易“分离”，二是分离后的无参函数可求最值。如果将本题不等式的常数项“3”改为“3a2”，该种方法恐怕就失效了！ 2通性通法原则

对于形如“f（x）>g（x）”的不等式，我们通常构造左右两端的“差函数”F（x）=f（x）g（x），分析该目标函数的单调性研究其极值、最值情况。在实际的函数导数压轴题中，所构造的“差函数”往往蕴含着参数，这就给目标函数的单调性、极值点、零点、最值等性质的研究带来不确定性，需要我们把握分类讨论的依据，罗列所有可能情形逐一分析，方能将目标函数的各种性态研究透彻，进而实现问题的化解！

例2：（2015年山东高考理科21）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中a∈R。

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