高中数学 第1章 解三角形 1.3 正弦定理、余弦定理的应用 全方位

1.3 正弦定理、余弦定理的应用

全方位聚焦正余弦定理的应用

正、余弦定理是研究三角形的边和角之间的关系，是解决三角形问题的有力工具和重要手段，下面将对正余弦定理的应用进行全方位扫描. 一、合理选用定理解三角形

求解三角形是典型问题，问题涉及三角形的若干几何量，解题时要注意边与角的互化.一般地，已知三角形的三个独立条件（不含已知三个角的情况），应用两定理，可以解三角形，具体可以解决的类型如下：

例1．在三角形ABC中，已知a?3,b?已知两边一夹角（唯一解） 余弦定理 正弦定理 已知两边一对角（不唯一） 已知两角一边（唯一解） 已知三边（唯一解） 2,B?45?，解此三角形.

分析：本题是一类已知两边一对角的解三角形问题，可用正弦定理，也可用余弦定理. 解法一：利用正弦定理，得

323?，则sinA?. sinAsin45?2由于a?b，根据大边对大角，得A?60?或120?. 当A?60?时，得C?75?，c?bsinC2sin75?6?2??；

sinBsin45?2bsinC2sin15?6?2??.

sinBsin45?21

当A?120?时，得C?15?，c?

解法二：利用余弦定理，得(2)2?(3)2?c2?2c?3?cos45?， 整理得c2?6c?1?0，得c?6?2. 2b2?c2?a216?2?，所以A?60?，则C?75?； 当c?时，cosA?2bc22b2?c2?a216?2??，所以A?120?，则C?15?. 当c?时，cosA?2bc22点评：已知三角形的两边一对角这一类型，是同学们在学习过程中感到最困难的一种类型，这种类型的题，正弦和余弦定理都可以解决.

（1）用正弦定理解，往往通过大边对大角这个性质，来判断解的个数；

（2）用余弦定理解，一般转化为关于某条边的一元二次方程，利用?或根的正负性来判断解的个数. 二 判断三角形的形状

解此类问题时，往往利用正弦或余弦定理转化到边或角，再通过边来判断或角来判断此三角形的形状.

例2在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

分析：利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.

解1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosA，

sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0， 则A-B=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形。

a2?c2?bb2?c2?aa??b?a2?b2 ∴ a?b， 即△ABC2ac2bc解2：由余弦定理:

为等腰三角形.

点评：法一将已知条件全部转化成角的关系，法二则将已知条件全部转化成边的关系，这样更有利于寻求到角与角或边与边存在的内在联系，这种方法在解其它有关三角形的问题中也是常用的，不同的思维有助于学生建立属于自己的良好的认知结构． 三 解决与面积有关的问题

22BC中，BC例3．在?A若a?4,b?c?5,tanA?tanB?3?3tanAtanB，求?A的面积.

2

解析：由已知得tan(A?B)?tanA?tanB3(tanAtanB?1)???3

1?tanAtanB1?tanAtanB?A?B?1200，得C?600

2220由余弦定理得c?a?b?2abcos60，又b?c?5

因此c?16?(5?c)?4(5?c)?c?2237，从而b?

22因此，?ABC的面积?113333 absinC??4???22222点评：本题有一定的难度，首先要用和角的正切公式产生A?B的值，进一步产生角C；其次要灵活运用条件及余弦定理产生b，然后再求三角形的面积，可以说是一道小型综合题，不能全面把握基础知识是难以完成求解的. 四、求值

例4 在?ABC中，求解一：原式?bcosC?asinC?的值

bcosA?csinA2RsinBcosC?2RsinAsinCsinBcosC?sin(B?C)sinC???

2RsinBcosA?2RsinCsinAsinBcosA?sin(B?A)sinA?cosBsinCsinC??0

cosBsinAsinAa2?b2?c2b2?c2?a2cb??ac2ab2a2R?????0 解二：原式?222222aab?c?ab?c?ab??c2R2bc2c点评：本题是一个“纸老虎”，看模样，有点吓人，但真正动手求解，也很顺利，正弦定理与余弦定理均可达到目的. 五、证明恒等式

a2?b2sin(A?B)?例5 在?ABC中，求证：

sinCc2证明：右边?sinAcosB?cosAsinBsinAsinBa??cosB??cosA??

sinCsinCsinCca2?c2?b2bb2?c2?a2a2?b2????左边，故等式成立 22acc2bcc点评：本题特点很突出，左边是边的式子、右边是角的式子，要完成这二者的统一（即

3

都是边的式子或都是角的式子）可以用正弦定理，也可以用余弦定理或两个定理联合使用.这里的求解是两个定理联合使用. 六、求解平面几何问题

例6 已知圆内接四边形ABCD的边长AB?2,BC?6,CD?DA?4，求四边形

ABCD的面积.

解：连结BD，则SABCD?S?ABD?S?BCD?1AB?AD?sinA 21BC?CD?sinC，由A?C?1800，得sinA?sinC 21那么SABCD?(AB?AD?BC?CD)sinA?16sinA

2?22222由于BD?2?4?2?2?4cosA?6?4?2?6?4cosC，又cosA??cosC得cosA??10，因此A?120 2故四边形ABCD的面积为SABCD?16sinA?16?3?83. 2点评：平几中涉及长度与面积问题往往需要用正弦或余弦定理进行求解.由于平几的图形不一定是几条单纯的线或三角形，求解时，一定要认真分析图形，努力使已知量转化为三角形中的边与角，促使正弦定理与余弦定理得以顺利应用.

4

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高中数学 第1章 解三角形 1.3 正弦定理、余弦定理的应用 全方位在线全文阅读。