定积分及其应用

第二节 定积分及其应用

一、内容精要 （一） 基本概念

定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。

定义3.3 设函数f(x)在闭区间?a,b?上有定义，在闭区间[a,b]内任意插入n-1个分点将?a,b?分成

n个小区间[xx?i,xi]，记?xi?xi?xi(i?1,2,?,n)，???[xi?1,xi]，作乘积f(?i)?xi（称为积分元），把这些乘积相加得到和式

?f(?)?xii?1ni（称为积分和式）设??max??xi:1?i?n?，若

lim?f(?i)?xi极限存在唯一且该极限值与区是[a,b]的分法及分点?i的取法无关，则称这个唯一

??0i?1n的极限值为函数f(x)在?a,b?上的定积分，记作?f(x)dx，即?f(x)dx?babalim??0?i?1nf(?i)?xi.

否则称f(x)在?a,b?上不可积.

注1由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。 注2若?af(x)dx存在，区间?a,b?进行特殊分割，分点?i进行特殊的取法得到的和式极限存在

b且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。

注3定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du.

定积分的几何意义: 若f(x)在?a,b?上可积，且f(x)?0,则直线y?0,x?a,x?b所围成的曲边梯形的面积.

同样，变力所作的功w??af(x)dx（其中f(x)是变力）变速直线运动的路程S??av(t)dt（v(t)是瞬时速度），密度不均质直线段?a,b?的质量M??a?(x)dx（其中?(x)是线密度）。

bbbbbb?baf(x)dx表示曲线y?f(x)与

规定 ?af(x)dx???bf(x)dx,ba?aaf(x)dx?0.

四、广义积分

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定义3.4 设函数f?x?在区间?a,???上连续，称记号

???af?x?dx记成limt???a?f?x?dx （1）

t为函数f?x?在无穷区间?a,???上的广义积分（或第一类广义积分）若（1）式右端极限存在，称广义积分

???af?x?dx收敛，该极限值称为广义积分的值，否则称广义积分???af?x?dx发散。

由f?x?在?a,???连续必有原函数，设f?x?的原函数为F?x?。于是

???af?x?dx?limt???a?f?x?dx?lim?F?t??F?a??t???t?????at?limF?t??F?a??limF?x??F?a?记成F?x?t???

,从而广义积分可以按照正常定积分计算方式来计算，即若limF?x?（存在）=A，则

t??????a?f?x?dx?F?x??a?limF?x??F?a?

t??????af?x?dx收敛，且

???af?x?dx?A?F?a?.若limF?x?不存在，则

t??????af?x?dx发散。

同理可得

?b??f?x?dx?F?x?b???F?b??limF?x?

x???若limF?x?存在，则广义积分?f?x?dx收敛，否则发散。

t?????a?t????????f?x?dx?F?x?????limF?x??limF?x?

x???x???若limF?x?，limF?x?都存在，则

t????f?x?dx收敛，否则发散。

??x?a??定义3.5 设f?x?在区间(a,b?上连续，lim?f?x?不存在（称a点为瑕点），???0且

??b?a，称记号?f?x?dx记成limab??0?a???bf?x?dx

??a与上面研究方式相同，可得若lim?F?x?存在，则广义积分

x?a?babaf?x?dx?F?x?bF?x? a?F?b??lim??f?x?dx收敛，否则发散。

x?b同理若f?x?在?a,b?上连续，lim?f?x?不存在（称b点为瑕点），有

?baf?x?dx?F?x?bF?x??F?a? a?lim?x?bx?c若f?x?在?a,c???c,b?上连续，limf?x?不存在（称c点为瑕点），定义

?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx.

aacbcb · ·154

当且仅当

且?f?x?dx值等于?f?x?dx与?f?x?dx?f?x?dx,?f?x?dx都收敛时，?f?x?dx收敛，

acaaaccbbbcb的值之和。

注 若f?x?在?a,b?上连续，lim?f?x??A（常数），则

x?a?f?x?dx可看成正常积分，

abbx?a,?A,事实上，定义F?x???知F?x?在?a,b?上连续，即?F?x?dx存在，而

a????fx,x?a,b.??baf?x?dx?lim????0ba??ba??f?x?dx?lim????0ba??F?x?dx，由于F?x?在?a,b?上连续，知变下限函数

bG?????故

ba有lim?G????G?0???F?x?dx，即?f?x?dx??F?x?dx.F?x?dx在?0,b?a?上连续，

??0abbaa?f?x?dx可看成正常积分。

第一p广义积分

若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，

换句话说可以像正常的定积分一样运算。

???adx（a>0，常数）. px??a当p?1时，

???adx1?p?1?xxp?p?1?a1?p,???p?1???,?p?1p?1

当p?1时，

???a1dx?lnxxb??a???, 知p?1时收敛，p?1时发散

第二p广义积分

??x?a??b?a?.

apbdx11b?atp???dx??2dt，有??at?x?a?p????t21??1?dt?dt. ?12?p??b?atdx1令?t,x?a由第一p广义积分知，当2?p?1，即p?1时收敛，当2?p?1，即p?1时发散。 （二）重要定理与公式

定理3.2 若函数f(x)在闭区间?a,b?上可积，则f(x)在?a,b?上有界，反之不成立。 例 D(x)???1,在[0,1]上有界但不可积.

?0,x为无理数,'x为有理数, 事实上，因为不论把[0，1]分割得多么细，在每个小区间[xi?1,xi]中，总能找到有理数?i，无理数?i

?，知 lim??0?D(?)?x'ii?1ni?lim??0??xi?1ni?lim??01?1,lim??0?D(???)?xii?1ni?lim??00?0,知

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lim??0?D(?)?xii?1ni不存在。

定理3.3 若f(x)在闭区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上可积，反之不成立.

定理3.4 若f(x)在闭区间?a,b?上只有有限个间断点且有界，则f(x)在?a,b?上可积，反之不成立.

定理3.5 若f(x)在闭区间?a,b?上单调，则f(x)在?a,b?上可积，反之不成立. 定积分的性质

性质1 ?a1dx??adx?b?a.

性质2 （线性运算法则）设f(x),g(x)在?a,b?上可积，对任何常数?,?则

bb?ba[?f(x)??g(x)]dx???af(x)dx???ag(x)dx. bb该性质用于定积分的计算与定积分的证明.

性质3 （区间的可加性），若f(x)在以a,b,c为端点构成的最大区间上可积，则不论a,b,c顺序如何，有?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx.

该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明.

性质4 若f(x)在?a,b?上可积且f(x)?0,则?af(x)dx?0.

bbcb性质5 若f(x),g(x)在?a,b?上可积且f(x)?g(x),则?af(x)dx??ag(x)dx.

bb性质6 若f(x)在?a,b?上连续，f(x)?0,且f(x) 0则?af(x)dx?0.

b性质7 若f(x),g(x)在?a,b?上连续且f(x)?g(x),但f(x)?g(x),则

b?baf(x)dx??ag(x)dx.

性质8 若f(x)在?a,b?上可积，则|?af(x)dx|??a|f(x)|dx.

bb性质9 若f(x)在?a,b?上可积，在区间?a,b?上，m≤f(x)≤M，m，M是常数，则

m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a).

性质4、5、6、7、8、9主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围.

性质10 （积分中值定理）若f(x)在闭区间?a,b?上连续，则至少存在一点??[a,b]，使

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?baf(x)dx?f(?)(b?a).

?bf(x)dx而f(?)?a称为f(x)在区间?a,b?上的平均值，即闭区间[a,b]上连续函数f(x)的平均值

b?a?bf(x)dx是a.

b?a 注：这里的??[a,b]与??(a,b)是不同的。

性质11 （推广的积分中值定理） 设f(x),g(x)在?a,b?上连续，且g(x)在?a,b?上不变号，则至少存在一点??[a,b],使?af(x)g(x)dx?f(?)?ag(x)dx.

性质12（柯西----许瓦尔兹（Cauchy—schwarz）不等式） 设函数f(x)，g(x)在?a,b?上连续，则

（1）[?af(x)g(x)dx]??af(x)dx??ag(x)dx.

（2）?[f(x)?g(x)]dx?{[?f(x)dx]?[?g(x)dx]}. 性质13 变上限积分求导定理 设f(x)连续，u(x),v(x)可导，则

ba2ba212ba2122b2b2b2bbdu(x)?v(x)f(t)dt?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x). dx1．定积分计算的方法

（1）牛顿一莱布尼兹公式 若

f(x)在

?a,b?上连续,则

?f(x)dxbaF'(x)?f(x)F(x)ba?F(b)?F(a).

bb（2）凑微分 ?ag(x)dx??af(?(x))?'(x)dx ??baf(?(x))d?(x)（3）变量替换

F'(u)?f(u)F(?(x))ba?F(?(b))?F(?(a)).

?abf(x)dx ?f(?(t))d?(t)

?a??(?),b??(?)F'(t)?f(?(t))?'(t)令x??(t)?? ???f(?(t))?'(t)dt?F(t)??F(?)?F(?).

bb（4）分部积分 设u(x),v(x)在[a,b]上导数连续，则?au(x)dv(x)?u(x)v(x)a??av(x)du(x) 具体的用法是?af(x)dx??au(x)v'(x)dx??au(x)dv(x)

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