1990年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)及答案(2)

整理得 a2-13a+36=0. 解得 a1=4, a2=9.

代入③式得 d1=4, d2=-6.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x. 依题意,有

由①式得 x=3y-12. ③

将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得 y2-13y+36=0. 解得 y1=4,y2=9. 代入③式得 x1=0,x2=15.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解法一:由已知得

两式相除得

解法二:如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是

(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,若C是AB的中点,由题设知点C

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有

解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).

将②式代入①式,可得 sin(α-j)=sin(j-β). 于是 α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z), 或 α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z).

若 α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z). 于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

由此可知 α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z). 即 α+β=2j+2kπ(k∈Z).

(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.

解法一:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E, ∴ SC⊥面BDE, ∴ SC⊥BD.

又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD. 而 SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.

∵ DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC, ∴ BD⊥DE,BD⊥DC.

∴ ∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵ SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.

解法二:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E. ∴ SC⊥面BDE, ∴ SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE. ∵DE面BDE,DC面BDC,

∴∠EDC是所求的二面角的平面角. 以下同解法一.

(24)本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力. 解:原不等式可化为

loga(4+3x-x2)>loga2(2x-1). ① 当0

即当0

当a>1时,①式等价于

(25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力. 解法一:设z=x+yi,代入原方程得

于是原方程等价于方程组

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为

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